UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 2 Clausius-Mossotti修正与极化系数

Clausius-Mossotti修正
Polarizability coefficient的图像

Clausius-Mossotti修正

在可极化的材料中挖去一个非常小的球，假设这个球的电极化矢量为P\textbf PP，则由于固定电荷的存在，材料中对应部分会产生额外的P/3ϵ0\textbf P/3\epsilon_0P/3ϵ0的电场，因此实际的局部电场为E+P/(3ϵ0)\textbf E+\textbf P/(3\epsilon_0)E+P/(3ϵ0)，根据这个现象修正Lorentz模型：
P(r,t)=P(r)e−iwt=ϵ0(E(r)+P(r)/3ϵ0)CK(w)e−iwtP(r,t)=Re[ϵ0E(r)χe(w)e−iwt]\textbf P(\textbf r,t)=\textbf P(\textbf r)e^{-iwt}=\epsilon_0 (\textbf E(\textbf r)+\textbf P(\textbf r)/3 \epsilon_0)C_K(w)e^{-iwt} \\ \textbf P(\textbf r,t)=Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)\chi_e(w)e^{-iwt}]P(r,t)=P(r)e−iwt=ϵ0(E(r)+P(r)/3ϵ0)CK(w)e−iwtP(r,t)=Re[ϵ0E(r)χe(w)e−iwt]

其中
χe(w)=3CK(w)3−CK(w)\chi_e(w)=\frac{3C_K(w)}{3-C_K(w)}χe(w)=3−CK(w)3CK(w)

这个公式被称为Clausius-Mossotti修正。需要注意的是这个修正的本质是因为材料中的固定电荷产生了额外的电极化，所以在Drude模型中，因为不存在固定电荷，所以不需要这个修正。

Lorenz-Lorentz公式
这个公式的含义与Clausius-Mossotti修正一样，它相当于Clausius-Mossotti修正的另一种形式。引入折射率(refractive index)
n(w)=ϵr(w)=1+χe(w)n(w)=\sqrt{\epsilon_r(w)}=\sqrt{1+\chi_e(w)}n(w)=ϵr(w)=1+χe(w)

并用折射率表示CK(w)C_K(w)CK(w)，
n2(w)−1n2(w)+2=13CK(w)=13∑k=1Kfkwp2w0k2−w2−iγkw\frac{n^2(w)-1}{n^2(w)+2} = \frac{1}{3}C_K(w)=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^K \frac{f_k w_p^2}{w_{0k}^2-w^2-i\gamma_k w}n2(w)+2n2(w)−1=31CK(w)=31k=1∑Kw0k2−w2−iγkwfkwp2

这个公式就是Lorenz-Lorentz公式，在研究气体密度与气体折射率之间的关系时可以使用这个公式。

关于P/3ϵ0\textbf P/3 \epsilon_0P/3ϵ0的由来

Continuity of ψ(r)\psi(\textbf r)ψ(r) requires the scalar inside and outside match on the boundary,
Acos⁡θR2=BRcos⁡θ,∀θ∈[0,π]\frac{A\cos \theta}{R^2}=BR \cos \theta,\forall \theta \in [0,\pi]R2Acosθ=BRcosθ,∀θ∈[0,π]

Note that the amplitude of tangential component of E\textbf EE is −∂∂rAcos⁡θr2=2Acos⁡θ/r3-\frac{\partial}{\partial r}\frac{A \cos \theta}{r^2}=2A \cos \theta/r^3−∂r∂r2Acosθ=2Acosθ/r3 outside −∂∂rBrcos⁡θ=−Bcos⁡θ-\frac{\partial}{\partial r}Br \cos \theta=-B \cos \theta−∂r∂Brcosθ=−Bcosθ inside. The boundary condition requirs
2Acos⁡θ/R3+Bcos⁡θ=σ0cos⁡θ/ϵ02A \cos \theta/R^3+B \cos \theta=\sigma_0 \cos \theta/\epsilon_02Acosθ/R3+Bcosθ=σ0cosθ/ϵ0

Above,
A=σ0R33ϵ0,B=A/R3=σ03ϵ0A=\frac{\sigma_0R^3}{3 \epsilon_0},B=A/R^3=\frac{\sigma_0}{3 \epsilon_0}A=3ϵ0σ0R3,B=A/R3=3ϵ0σ0

Polarizability coefficient的图像

为了讨论Lorentz模型的物理意义，我们需要先搞懂Polarizability coefficient，
C(w)=Nq2mϵ0w02−w2−iγw=wp2w02−w2−iγww0=αm,γ=βm,wp=Nq2mϵ0C(w)=\frac{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}=\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w} \\ w_0=\sqrt{\frac{\alpha}{m}},\gamma = \frac{\beta}{m},w_p=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}C(w)=w02−w2−iγwmϵ0Nq2=w02−w2−iγwwp2w0=mα,γ=mβ,wp=mϵ0Nq2

其中w0w_0w0是材料的固有频率（共振频率）、γ\gammaγ是材料的阻尼系数、wpw_pwp是材料的电浆频率，三者的单位都与角频率相同。

这张图在以www为变量的的复平面中展示了w02−w2−iγww_0^2-w^2-i\gamma ww02−w2−iγw的形状，w^\hat ww^代表∣w02−w2−iγw∣|w_0^2-w^2-i\gamma w|∣w02−w2−iγw∣的最小值；

这张图在以www为变量的的复平面中展示了1/(w02−w2−iγw)1/(w_0^2-w^2-i\gamma w)1/(w02−w2−iγw)的形状

这张图展示了www取实数时C(w)C(w)C(w)的实部与虚部的变化规律。