【新教材】7.3.1 复数的三角表示式

教学设计(人教A版)

 教材分析

《复数的三角形式》是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.

 教学目标与核心素养

课程目标：

1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化; 

2. 培养学生的转化，推理及运算能力;

3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.

数学学科素养

1.数学抽象：复数三角表示的理解;

2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;

3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.

 教学重难点

重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．

难点：复数三角表达式的理解.

 教学过程

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

一、 情景导入

提问：

1、如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y? 

2、我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量也是一一对应的，如图，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本83-85页，思考并完成以下问题

1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？

2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1 .复数的辐角

以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。

适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z<2π.

2.复数的三角表达式

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

注意：复数三角形式的特点

模非负，角相同，余弦前，加号连

3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．

四、典例分析、举一反三

题型一  复数的三角形式

例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

解题技巧(复数三角形式的判断依据和变形步骤)

(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.

跟踪训练一

1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

题型二  复数的代数形式表示成三角形式

例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

解题技巧： (复数的代数形式化三角形式的步骤)

(1)先求复数的模；

(2)决定辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；

(4)写出复数的三角形式．

跟踪训练二

1．把下列复数表示成三角形式：

题型三  把复数表示成代数形式

例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

解题技巧(把复数表示成代数形式的注意事项)

(1)类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．

跟踪训练三

1．把下列复数表示成代数形式：

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本86页练习，89页习题7.3的1、2题.

教学反思 

本节课主要是在学生了解复数的代数形式及向量知识的基础上，探索复数的另一种表示方法，对于本节题型，注重让学生总结解题技巧，便于学生对知识有更系统的认知.

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