信号与系统复习笔记——信号与系统的时域和频域特性

傅里叶变换的模和相位表示

一般来说，傅里叶变换的结果是复数，所以能够使用模和相位来表示，具体的有：

X ( j ω ) = ∣ X ( j ω ) ∣ e j ∡ X ( j ω ) X(j\omega) = |X(j\omega)|e^{j\measuredangle X(j\omega)} X(jω)=∣X(jω)∣ej∡X(jω)

其中模使用 ∣ X ( j ω ) ∣ |X(j\omega)| ∣X(jω)∣ 表示，相位使用 ∡ X ( j ω ) \measuredangle X(j\omega) ∡X(jω) 表示。

对于离散傅里叶变换也同理：

X ( e j ω ) = ∣ X ( e j ω ) ∣ e j ∡ X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\measuredangle X(e^{j\omega})} X(ejω)=∣X(ejω)∣ej∡X(ejω)

傅里叶变换的幅值和相位同时影响了时域信号。

线性时不变系统的频率响应的模和相位表示

一个线性时不变系统的响应可以表示为：

Y ( j ω ) = H ( j ω ) X ( j ω ) Y(j\omega) = H(j\omega)X(j\omega) Y(jω)=H(jω)X(jω)

若从相位和幅值的角度考虑：

∣ Y ( j ω ) ∣ = ∣ H ( j ω ) ∣ ∣ X ( j ω ) ∣ |Y(j\omega)| = |H(j\omega)||X(j\omega)| ∣Y(jω)∣=∣H(jω)∣∣X(jω)∣

∡ Y ( j ω ) = ∡ H ( j ω ) + ∡ X ( j ω ) \measuredangle Y(j\omega) = \measuredangle H(j\omega) + \measuredangle X(j\omega) ∡Y(jω)=∡H(jω)+∡X(jω)

即响应的幅值等于系统频率函数的幅值乘以输入信号的幅值，响应的辐角等于系统频率函数的辐角加上输入信号的辐角。

因此，我们称 ∣ H ( j ω ) ∣ |H(j\omega)| ∣H(jω)∣ 为系统的增益，而 ∡ H ( j ω ) \measuredangle H(j\omega) ∡H(jω) 称为系统的相移。若系统在其中之一产生了我们不希望有的变化，我们称为幅度或者相位失真。

群时延

对于相移是一个关于 ω \omega ω 的线性函数的时候，此时相移在时域上就有一个直观的解释，具体的，当：

H ( j ω ) = e − j ω t 0 H(j\omega) = e^{-j \omega t_0} H(jω)=e−jωt0

系统的增益为 ∣ H ( j ω ) ∣ = 1 |H(j\omega)| = 1 ∣H(jω)∣=1 而相移为 ∡ H ( j ω ) = − ω t 0 \measuredangle H(j\omega) = -\omega t_0 ∡H(jω)=−ωt0 ，我们知道，这样的系统表示一个输出相对于输入的时间延迟：

y ( t ) = x ( t − t 0 ) y(t) = x(t - t_0) y(t)=x(t−t0)

离散情况下也同理，但必须是整数斜率。当不是一个整数的时候，其时域效果就要更复杂一些。，大致来说，时域相当于是连续情况下相对于包络的序列移动，这可能会改变幅值。

对于非线性的相移函数来说，我们可以考虑其中对于某一小段频率的影响，具体的我们在 ω \omega ω 处进行一阶泰勒展开，得到的结果是：

∡ H ( j ω ) ≃ − ϕ − ω α \measuredangle H(j\omega) \simeq -\phi - \omega\alpha ∡H(jω)≃−ϕ−ωα

这样就有：

Y ( j ω ) ≃ X ( j ω ) ∣ H ( j ω ) ∣ e − j ϕ e − j ω α Y(j\omega) \simeq X(j\omega) |H(j\omega)|e^{-j\phi} e^{-j\omega\alpha} Y(jω)≃X(jω)∣H(jω)∣e−jϕe−jωα

这就说明，对于频率 ω \omega ω 来说，先乘以一个恒定的复数因子 e − j ϕ e^{-j\phi} e−jϕ 再乘以一个在 ω \omega ω 极小邻域内的公共时延 e − j ω α e^{-j\omega\alpha} e−jωα 。我们称 α \alpha α 是频率 ω \omega ω 的群时延，定义为：

τ ( ω ) = − d ∡ H ( j ω ) d ω \tau(\omega) = -\frac{d \measuredangle H(j\omega)}{d\omega} τ(ω)=−dωd∡H(jω)

伯德图

对于一个线性时不变系统的响应，辐角是相加关系，若也将幅值写成相加关系或许会更加方便，我们可以利用对数的性质，即：

一般的对数标尺采用 20 log ⁡ 10 20\log_{10} 20log10 为单位，称为分贝dB。

0dB相当于增益为1，20dB相当于10倍增益，-20dB相当于衰减10倍，6dB近似的是2倍增益（一个八度）。

对于连续的时间系统，采用对数的频率坐标系会更加的方便，这是因为，大多数低通的物理系统在几十兆赫兹左右才开始衰减，若采用线性坐标系，则表示衰减不明显。

因此，我们将 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω) 表示为频率坐标为 log ⁡ 10 \log_{10} log10 单位的，辐角表示为 ∡ H ( j ω ) \measuredangle H(j\omega) ∡H(jω) ，幅值表示为 20 log ⁡ 10 ∣ H ( j ω ) ∣ 20\log_{10} |H(j\omega)| 20log10∣H(jω)∣ 的图像称为 伯德图 。

特别的，物理中大部分信号都是实数信号，那么 ∣ H ( j ω ) ∣ |H(j\omega)| ∣H(jω)∣ 就是 ω \omega ω 的偶函数，而 ∡ H ( j ω ) \measuredangle H(j\omega) ∡H(jω) 就是 ω \omega ω 的奇函数。由于这个原理， − ω -\omega −ω 部分可以通过 + ω +\omega +ω 表示出来，因此实信号伯德图通常省略 − ω -\omega −ω 部分。对于辐角，我们通常表示在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π] 的范围内，称为 主值相位 。

对于实信号的离散的傅里叶变换，由于其是一个 2 π 2\pi 2π 的函数，我们只画出其在 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π] 的范围内的图像即可。

理想滤波器的时域特性

一个连续时间的理想低通滤波器的频率响应表示为：

H ( j ω ) = 1 , ∣ ω ∣ ≤ w c H(j\omega) = 1, |\omega| \le w_c H(jω)=1,∣ω∣≤wc

其中 w c w_c wc 称为截止频率。

我们曾经求出，理想低通滤波器对应的单位冲激响应为：

h ( t ) = s i n w c t π t h(t) = \frac{sin w_c t}{\pi t} h(t)=πtsinwct

其图像表示为抽样函数的特征：

我们发现，当 ω c \omega_c ωc 越大，其最大值越大，时域范围越窄，当 ω c \omega_c ωc 无限大，称为 全通系统 ，其单位冲激响应仍然是单位冲激函数。

对于阶跃响应，我们知道是单位冲激响应的积分：

s ( t ) = ∫ − ∞ t h ( t ) d t s(t) = \int_{-\infty}^t h(t) dt s(t)=∫−∞th(t)dt

其图像为：

我们发现，积分值在区间 [ − π ω c , π ω c ] [-\frac{\pi}{\omega_c},\frac{\pi}{\omega_c}] [−ωcπ,ωcπ] 变化最快，我们称这段区间为 上升时间 反比与滤波器的带宽。

并且，任何的低通滤波器都存在振铃现象（过冲和过放），这是因为带宽不是无穷大带来的影响。

非理想滤波器的时域特性

理想滤波器是一个非因果系统，现实中的滤波器都是非理想滤波器，即在通频带到截止带之间的衰减是渐变过渡，而不是冲激过渡的。

一个非理想滤波器的增益曲线可以描述成：

非理想滤波器的增益曲线由三部分组成， 通带、过渡带和阻带 。

其中，通带的增益有个允许容限，称为 通带纹波 ，阻带的增益有个允许容限，称为 阻带纹波 ，过渡带的两个频率边缘称为 通带边缘 和 阻带边缘 。

而对于非理想滤波器的相位曲线，我们希望其是线性或是近似线性的。

对于非理想滤波器的时域特性，我们通常是描述他的单位阶跃响应，我们希望统计其三个指标，过冲的最大值，称为超量 Δ \Delta Δ ，响应的震荡频率 ω r \omega_r ωr 以及最终值处在容许区间所需要的时间，称为建立时间 t s t_s ts 。

一阶与二阶连续时间系统

一阶连续时间系统

对于一个一阶连续时间系统，其表示为：

τ d y ( t ) d t + y ( t ) = x ( t ) \tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t) τdtdy(t)+y(t)=x(t)

易知其频率响应为：

H ( j ω ) = 1 j ω τ + 1 H(j\omega) = \frac{1}{j\omega \tau + 1} H(jω)=jωτ+11

其单位冲激响应为：

h ( t ) = 1 τ e − t / τ u ( t ) h(t) = \frac{1}{\tau} e^{-t / \tau}u(t) h(t)=τ1e−t/τu(t)

其单位阶跃响应为：

s ( t ) = [ 1 − e − t / τ ] u ( t ) s(t) = [1 - e^{- t / \tau}]u(t) s(t)=[1−e−t/τ]u(t)

两个响应都应是关于指数函数的函数，单位冲激响应从 1 τ \frac{1}{\tau} τ1 指数衰减为0，单位阶跃响应从0指数增长到1，没有任何震荡。

其中 τ \tau τ 称为 时间常数 ，控制着一阶系统的响应的快慢，当 t = τ t = \tau t=τ 的时候，冲激响应衰减到 t = 0 t =0 t=0 的时候的 1 e \frac{1}{e} e1 倍，而阶跃响应还差 1 e \frac{1}{e} e1 到1。时间常数越小，系统的响应时间就越短，系统响应越快。

其增益伯德图为：

20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ = − 10 log ⁡ [ ( ω τ ) 2 + 1 ] 20\log |H(j\omega)| = -10 \log [(\omega \tau)^2 + 1] 20log∣H(jω)∣=−10log[(ωτ)2+1]

我们发现，当 ω τ ≪ 1 \omega \tau \ll 1 ωτ≪1 则增益等于：

20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ ≃ 0 20\log |H(j\omega)| \simeq 0 20log∣H(jω)∣≃0

当 ω τ ≫ 1 \omega \tau \gg 1 ωτ≫1 则增益等于：

20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ ≃ − 20 log ⁡ ω − 20 log ⁡ τ 20\log |H(j\omega)| \simeq -20\log \omega - 20\log \tau 20log∣H(jω)∣≃−20logω−20logτ

换句话说，一阶系统的增益伯德图在低频和高频的渐近线都是直线，如图：

低频渐近线是一条0dB线，而高频渐近线是一个每10倍频就有20dB衰减的直线，我们也称为 -20dB/10倍频衰减线 。

注意，两条直线在 ω = 1 / τ \omega = 1 / \tau ω=1/τ 的地方重合，我们称这一点为 转折频率 ，这一点的增益实际值等于：

− 10 log ⁡ 2 = − 3 d B -10\log 2 = -3dB −10log2=−3dB

称这一点为3dB点，也称为半功率点。

对 ∡ H ( j ω ) \measuredangle H(j\omega) ∡H(jω) 也可以进行近似：

∡ H ( j ω ) − arctan ⁡ ω τ \measuredangle H(j\omega) - \arctan \omega \tau ∡H(jω)−arctanωτ

当 ω ≤ 0.1 / τ \omega \le 0.1 / \tau ω≤0.1/τ 的时候：

∡ H ( j ω ) ≃ 0 \measuredangle H(j\omega) \simeq 0 ∡H(jω)≃0

当 0.1 / τ ≤ ω ≤ 10 / τ 0.1 / \tau \le \omega \le 10 / \tau 0.1/τ≤ω≤10/τ 的时候：

∡ H ( j ω ) ≃ − ( π / 4 ) [ log ⁡ ( ω τ ) + 1 ] \measuredangle H(j\omega) \simeq -(\pi / 4)[\log (\omega \tau) + 1] ∡H(jω)≃−(π/4)[log(ωτ)+1]

当 ω ≥ 10 / τ \omega \ge 10 / \tau ω≥10/τ 的时候：

∡ H ( j ω ) ≃ − π / 2 \measuredangle H(j\omega) \simeq - \pi / 2 ∡H(jω)≃−π/2

同样由三段直线构成：

而且，在点 1 / τ 1 / \tau 1/τ 的地方，估计值等于真实值等于 − 1 4 π -\frac{1}{4}\pi −41π 。

一阶连续时间系统可以看做是一个非理想的低通滤波器，当 τ \tau τ 减小，通频带频率变宽，阶跃响应的上升时间缩短。

二阶连续时间系统

二阶连续时间系统表示为：

d 2 y ( t ) d t 2 + 2 ζ ω n d y ( t ) d t + ω n 2 y ( t ) = ω n 2 x ( t ) \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2\zeta\omega_n \frac{d y(t)}{dt} + \omega_n^2y(t) = \omega_n^2x(t) dt2d2y(t)+2ζωndtdy(t)+ωn2y(t)=ωn2x(t)

二阶系统的频率响应为：

H ( j ω ) = ω n 2 ( j ω ) 2 + 2 ζ ω n ( j ω ) + ω n 2 H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2 + 2\zeta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2} H(jω)=(jω)2+2ζωn(jω)+ωn2ωn2

当 ζ ≠ 1 \zeta \neq 1 ζ=1 时可以将分式裂项：

H ( j ω ) = M j ω − c 1 − M j ω − c 2 H(j\omega) = \frac{M}{j\omega - c_1} - \frac{M}{j\omega - c_2} H(jω)=jω−c1M−jω−c2M

其中：

M = ω n 2 ζ 2 − 1 M = \frac{\omega_n}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}} M=2ζ2−1 ωn

c 1 = − ζ ω n + ω n ζ 2 − 1 c_1 = -\zeta\omega_n + \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1} c1=−ζωn+ωnζ2−1

c 2 = − ζ ω n − ω n ζ 2 − 1 c_2 = -\zeta\omega_n - \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1} c2=−ζωn−ωnζ2−1

则单位冲激响应为：

h ( t ) = M ( e c 1 t − e c 2 t ) u ( t ) h(t) = M(e^{c_1 t} - e^{c_2 t})u(t) h(t)=M(ec1t−ec2t)u(t)

若 ζ = 1 \zeta = 1 ζ=1 ，有：

H ( j ω ) = ω n 2 ( j ω + ω n ) 2 H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega + \omega_n)^2} H(jω)=(jω+ωn)2ωn2

此时单位冲激响应为：

h ( t ) = ω n 2 t e − ω n t u ( t ) h(t) = \omega_n^2 t e^{-\omega_n t}u(t) h(t)=ωn2te−ωntu(t)

参数 ζ \zeta ζ 称为 阻尼系数 而 ω n \omega_n ωn 称为 无阻尼的自然频率 。

当 0 < ζ < 1 0 < \zeta < 1 0<ζ<1 的时候， c 1 c_1 c1 和 c 2 c_2 c2 都是复数，其单位冲激响应为：

h ( t ) = ω n e − ζ ω n t 1 − ζ 2 [ sin ⁡ ( t ω n 1 − ζ 2 ) ] u ( t ) h(t) = \frac{\omega_n e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}[\sin (t\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2})]u(t) h(t)=1−ζ2 ωne−ζωnt[sin(tωn1−ζ2 )]u(t)

此时的冲激响应其实是一个指数衰减的正弦震荡，称这个系统为 欠阻尼 的。当 ζ > 1 \zeta > 1 ζ>1 则是两个指数函数相减，称为 过阻尼 的，而 ζ = 1 \zeta = 1 ζ=1 称为 临界阻尼 。

而阶跃响应，当 ζ ≠ 1 \zeta \neq 1 ζ=1 的时候：

s ( t ) = [ 1 + M ( e c 1 t c 1 − e c 2 t c 2 ) ] u ( t ) s(t) = [1 + M(\frac{e^{c_1 t}}{c_1} - \frac{e^{c_2 t}}{c_2})]u(t) s(t)=[1+M(c1ec1t−c2ec2t)]u(t)

当 ζ = 1 \zeta = 1 ζ=1 的时候：

s ( t ) = [ 1 − e − ω n t − ω n t e − ω n t ] u ( t ) s(t) = [1 - e^{-\omega_n t} - \omega_n t e^{-\omega_n t}]u(t) s(t)=[1−e−ωnt−ωnte−ωnt]u(t)

欠阻尼系统的阶跃响应不光有超量，还有震荡，但是上升时间最快。临界阻尼没有震荡，也没有超量，上升时间是在没有震荡，也没有超量的情况下的最快时间。过阻尼随着阻尼系数的上升，系统的响应越慢。

对于频率响应的增益：

20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ = − 10 log ⁡ [ [ 1 − ( ω ω n ) 2 ] 2 + 4 ζ 2 ( ω ω n ) 2 ] 20\log |H(j\omega)| = -10\log[[1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2 + 4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2] 20log∣H(jω)∣=−10log[[1−(ωnω)2]2+4ζ2(ωnω)2]

导出高频、低频的渐近线为，当 ω ≪ ω n \omega \ll \omega_n ω≪ωn 的时候：

20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ ≃ 0 20\log |H(j\omega)| \simeq 0 20log∣H(jω)∣≃0

当 ω ≫ ω n \omega \gg \omega_n ω≫ωn 的时候：

20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ ≃ − 40 log ⁡ ω + 40 log ⁡ ω n 20\log |H(j\omega)| \simeq -40\log \omega + 40\log \omega_n 20log∣H(jω)∣≃−40logω+40logωn

低频渐近线仍然是0dB线，高频线是一个 -40dB/10倍频衰减线 。其中 ω n \omega_n ωn 为转折频率：

但是实际曲线在 ω n \omega_n ωn 附近处有一个尖峰，当 ζ < 2 2 ≃ 0.707 \zeta < 2\sqrt{2} \simeq 0.707 ζ<22 ≃0.707 的时候，增益在 ω m a x = ω n 1 − 2 ζ 2 \omega_{max} = \omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2} ωmax=ωn1−2ζ2 的地方有最大值：

∣ H ∣ m a x = 1 2 ζ 1 − ζ 2 |H|_{max} = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}} ∣H∣max=2ζ1−ζ2 1

对于 ζ > 0.707 \zeta > 0.707 ζ>0.707 ，增益是一个单调递减函数。

相移响应为：

∡ H ( j ω ) = − arctan ⁡ ( 2 ζ ( ω / ω n ) 1 − ( ω / ω n ) 2 ) \measuredangle H(j\omega) = -\arctan (\frac{2\zeta(\omega/\omega_n)}{1 - (\omega/\omega_n)^2}) ∡H(jω)=−arctan(1−(ω/ωn)22ζ(ω/ωn))

可近似为，当 ω ≤ 0.1 ω n \omega \le 0.1\omega_n ω≤0.1ωn 的时候：

∡ H ( j ω ) ≃ 0 \measuredangle H(j\omega) \simeq 0 ∡H(jω)≃0

当 0.1 ω n ≤ ω ≤ 10 ω n 0.1\omega_n \le \omega \le 10\omega_n 0.1ωn≤ω≤10ωn 的时候：

∡ H ( j ω ) ≃ − π 2 [ log ⁡ ( ω ω n ) + 1 ] \measuredangle H(j\omega) \simeq -\frac{\pi}{2} [\log (\frac{\omega}{\omega_n}) + 1] ∡H(jω)≃−2π[log(ωnω)+1]

当 ω ≥ 10 ω n \omega \ge 10\omega_n ω≥10ωn 的时候：

∡ H ( j ω ) ≃ − π \measuredangle H(j\omega) \simeq -\pi ∡H(jω)≃−π

二阶系统的增益尖峰对于某些震荡电路、选频电路是很重要的，我们定义 品质因数 Q来衡量这个尖峰的尖锐程度：

Q = 1 2 ζ Q = \frac{1}{2\zeta} Q=2ζ1

阻尼越小，品质系数越大，尖峰越尖锐。

有理型频率响应的波特图

一阶和二阶系统都能用做是构建有理型LTI系统的基本单元。因为一个有理型的频率响应可以被因式分解成一个恒定增益、一阶系统、二阶系统的乘积（或倒数的乘积）。

所以 有理型频率响应的波特图等于每一项波特图相加 。同理，波特图中渐近线由每一项的渐近线相加得到。

一阶和二阶离散时间系统

一阶离散时间系统

一阶离散时间系统由差分方程描述：

y [ n ] − a y [ n − 1 ] = x [ n ] y[n] - ay[n-1] = x[n] y[n]−ay[n−1]=x[n]

其中 ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣a∣<1 。该系统的频率响应为：

H ( e j ω ) = 1 1 − a e − j ω H(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - ae^{-j\omega}} H(ejω)=1−ae−jω1

单位脉冲响应为：

h [ n ] = a n u [ n ] h[n] = a^nu[n] h[n]=anu[n]

阶跃响应为：

s [ n ] = 1 − a n + 1 1 − a u [ n ] s[n] = \frac{1 - a^{n+1}}{1-a}u[n] s[n]=1−a1−an+1u[n]

这里 ∣ a ∣ |a| ∣a∣ 的作用类似于连续时间系统中的时间常数 τ \tau τ ，决定了系统的响应速度。值得注意的是，与连续一阶系统不同，离散一阶系统可能存在超量和震荡。

其增益和辐角表示为：

∣ H ( e j ω ) ∣ = 1 ( 1 + a 2 − 2 a cos ⁡ ω ) 1 / 2 |H(e^{j\omega})| = \frac{1}{(1 + a^2 - 2a\cos \omega)^{1/2}} ∣H(ejω)∣=(1+a2−2acosω)1/21

∡ H ( e j ω ) = − tan ⁡ − 1 [ a sin ⁡ ω 1 − a cos ⁡ ω ] \measuredangle H(e^{j\omega}) = -\tan^{-1} [\frac{a\sin \omega}{1-a\cos \omega}] ∡H(ejω)=−tan−1[1−acosωasinω]

二阶离散时间系统

二阶离散时间系统由下面的差分方程描述：

y [ n ] − 2 r cos ⁡ θ y [ n − 1 ] + r 2 y [ n − 2 ] = x [ n ] y[n] - 2r\cos\theta y[n-1] + r^2 y[n-2] = x[n] y[n]−2rcosθy[n−1]+r2y[n−2]=x[n]

其中 0 < r < 1 , 0 ≤ θ ≤ π 0 < r < 1,0\le \theta \le \pi 0<r<1,0≤θ≤π 。

频率响应为：

H ( e j ω ) = 1 1 − 2 r cos ⁡ θ e − j ω + r 2 e − j 2 ω H(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - 2r\cos\theta e^{-j\omega} + r^2 e^{-j2\omega}} H(ejω)=1−2rcosθe−jω+r2e−j2ω1