吉米多维奇例题—

题目：已知 $f(x+\frac{1}{x})=\frac{x^2}{x^4+1}$ ，求解 $f(x)$

本次如果使用传统的方法的话，那么可以使用如下方式：

令 $x+\frac{1}{x}=t$ ，则可以转换为二元方程组的形式： $x^2-tx+1=0$ ，通过求解这个二元方程组可得以下两个解：

$x_1=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2} \ \ \ \ \ \ (1)$

$x_2=\frac{t-\sqrt{t^2-4}}{2}\ \ \ \ \ \ (2)$

再将上面两个值重新带入题目中等式右边的公式里面去。

我们不难看出，这种方式比较麻烦，需要找到一种特殊的方式来帮助我们求解。

例如，我们右边的等式上下同时除以 $x^2$ ，则变成了如下的形式：

$f(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}} \ \ \ \ \ \ (3)$

通过观察可以发现：

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2 \ \ \ \ \ \ (4)$

那么公式（3）可以化为如下形式：

$f(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2-2} \ \ \ \ \ \ (5)$

进而可以推算出f(x)的公式为：

$f(x)=\frac{1}{x^2-2} \ \ \ \ \ \ (6)$

因为在题目中自变量的取值范围：

当 $x>0,x+\frac{1}{x}\geqslant 2.x.\frac{1}{x}=2$

当 $x<0,x+\frac{1}{x}\leqslant 2.x.\frac{1}{x}=-2$

则本题的解为：

$f(x)=\frac{1}{x^2-2},x\epsilon (-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$

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