最短路

最短路问题分为俩个模块，单源最短路和多源最短路问题，而单源最短路中又分为4种算法，分别总结一下

单源最短路问题

单源最短路问题（又称为SSSP问题），给定一张有向图，n个点，m个边，节点以[1，n]之间的连续整数编号，（x,y,z)描述一条从x出发，到达y，长度为z的有向边。设1号点为起点，求长度为n的数组dist，其中dist[i]表示从起点1到节点i的最短路径的长度

Dijkstra算法

算法的基本流程：

初始化dist[1] = 0，其余节点都为正无穷大
找到应该未标记的，dist[x]最小节点x，然后标记节点x
扫描节点x的所有出边（x,y,z)，若dist[y]>distp[x]+z,则使用dist[x]+z更新dist[y]
重复上述2-3，直到所有节点都被标记

不难发现，基于贪心，故只适用于边的长度为非负

当边长都为非负数的时候，全局最小值已经不能被其他节点更新，故在第一步中选出的节点x必然满足：dist[x]已经是起点到x的最短路径，进行不断的选择，标记，拓展，最终得到每个节点的最短路径的长度

package 最短路;public class Dijkstra {/** 参数adjMatrix:为图的权重矩阵，权值为-1的两个顶点表示不能直接相连* 函数功能：返回顶点0到其它所有顶点的最短距离，其中顶点0到顶点0的最短距离为0*/public int[] getShortestPaths(int[][] adjMatrix) {int[] result = new int[adjMatrix.length];   //用于存放顶点0到其它顶点的最短距离boolean[] used = new boolean[adjMatrix.length];  //用于判断顶点是否被遍历used[0] = true;  //表示顶点0已被遍历for(int i = 1;i < adjMatrix.length;i++) {result[i] = adjMatrix[0][i];used[i] = false;}for(int i = 1;i < adjMatrix.length;i++) {int min = Integer.MAX_VALUE;    //用于暂时存放顶点0到i的最短距离，初始化为Integer型最大值int k = 0;for(int j = 1;j < adjMatrix.length;j++) {  //找到顶点0到其它顶点中距离最小的一个顶点if(!used[j] && result[j] != -1 && min > result[j]) {min = result[j];k = j;}}used[k] = true;    //将距离最小的顶点，记为已遍历for(int j = 1;j < adjMatrix.length;j++) {  //然后，将顶点0到其它顶点的距离与加入中间顶点k之后的距离进行比较，更新最短距离if(!used[j]) {  //当顶点j未被遍历时//首先，顶点k到顶点j要能通行；这时，当顶点0到顶点j的距离大于顶点0到k再到j的距离或者顶点0无法直接到达顶点j时，更新顶点0到顶点j的最短距离if(adjMatrix[k][j] != -1 && (result[j] > min + adjMatrix[k][j] || result[j] == -1))result[j] = min + adjMatrix[k][j];}}}return result;}public static void main(String[] args) {Dijkstra test = new Dijkstra();int[][] adjMatrix = {{0,6,3,-1,-1,-1},{6,0,2,5,-1,-1},{3,2,0,3,4,-1},{-1,5,3,0,2,3},{-1,-1,4,2,0,5},{-1,-1,-1,3,5,0}};int[] result = test.getShortestPaths(adjMatrix);System.out.println("顶点0到图中所有顶点之间的最短距离为：");for(int i = 0;i < result.length;i++)System.out.print(result[i]+" ");}
}

存在负权边，Bellman-Ford

基于迭代思想：

扫描所有边（x，y，z)，若dist[y]>dist[x]+z，则用dist[x]+z更新dist[y]
重复上面的步骤，直到没有更新操作发生

package 最短路;import java.util.Scanner;public class BellmanFord {public long[] result;       //用于存放第0个顶点到其它顶点之间的最短距离//内部类，表示图的一条加权边class edge {public int a;   //边的起点public int b;   //边的终点public int value;  //边的权值edge(int a, int b, int value) {this.a = a;this.b = b;this.value = value;}}//返回第0个顶点到其它所有顶点之间的最短距离public boolean getShortestPaths(int n, edge[] A) {result = new long[n];for (int i = 1; i < n; i++)result[i] = Integer.MAX_VALUE;  //初始化第0个顶点到其它顶点之间的距离为无穷大，此处用Integer型最大值表示for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < A.length; j++) {if (result[A[j].b] > result[A[j].a] + A[j].value)result[A[j].b] = result[A[j].a] + A[j].value;}}boolean judge = true;for (int i = 1; i < n; i++) {   //判断给定图中是否存在负环if (result[A[i].b] > result[A[i].a] + A[i].value) {judge = false;break;}}return judge;}public static void main(String[] args) {BellmanFord test = new BellmanFord();Scanner in = new Scanner(System.in);System.out.println("请输入一个图的顶点总数n和边总数p：");int n = in.nextInt();int p = in.nextInt();edge[] A = new edge[p];System.out.println("请输入具体边的数据：");for (int i = 0; i < p; i++) {int a = in.nextInt();int b = in.nextInt();int value = in.nextInt();A[i] = test.new edge(a, b, value);}if (test.getShortestPaths(n, A)) {for (int i = 0; i < test.result.length; i++)System.out.print(test.result[i] + " ");} elseSystem.out.println("给定图存在负环，没有最短距离");}}

存在负权边，SPFA

实际上，SPFA算法在国际上统称为“队列优化的Bellman-Ford算法，仅在中国称为”SPFA“算法
流程如下：

建立一个队列，起初队列中只含有起点1
取出队头节点x，扫描它的所有出边（x，y，z）若，dist[y]>dist[x]+z，则使用dist[x]+z更新dist[y]。同时，若y不在队列中，则把y入队
重复，直到队列为空

package 最短路;import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;public class SPFA {public long[] result;         //用于得到第s个顶点到其它顶点之间的最短距离//内部类，用于存放图的具体边数据class edge {public int a;  //边的起点public int b;  //边的终点public int value;   //边的权值edge(int a, int b, int value) {this.a = a;this.b = b;this.value = value;}}/** 参数n:给定图的顶点个数* 参数s:求取第s个顶点到其它所有顶点之间的最短距离* 参数edge:给定图的具体边* 函数功能：如果给定图不含负权回路，则可以得到最终结果，如果含有负权回路，则不能得到最终结果*/public boolean getShortestPaths(int n, int s, edge[] A) {ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();result = new long[n];boolean[] used = new boolean[n];int[] num = new int[n];for(int i = 0;i < n;i++) {result[i] = Integer.MAX_VALUE;used[i] = false;}result[s] = 0;     //第s个顶点到自身距离为0used[s] = true;    //表示第s个顶点进入数组队num[s] = 1;       //表示第s个顶点已被遍历一次list.add(s);      //第s个顶点入队while(list.size() != 0) {int a = list.get(0);   //获取数组队中第一个元素list.remove(0);         //删除数组队中第一个元素for(int i = 0;i < A.length;i++) {//当list数组队的第一个元素等于边A[i]的起点时if(a == A[i].a && result[A[i].b] > result[A[i].a] + A[i].value) {result[A[i].b] = result[A[i].a] + A[i].value;if(!used[A[i].b]) {list.add(A[i].b);num[A[i].b]++;if(num[A[i].b] > n)return false;used[A[i].b] = true;   //表示边A[i]的终点b已进入数组队}}}used[a] = false;        //顶点a出数组对}return true;}public static void main(String[] args) {SPFA test = new SPFA();Scanner in = new Scanner(System.in);System.out.println("请输入一个图的顶点总数n起点下标s和边总数p：");int n = in.nextInt();int s = in.nextInt();int p = in.nextInt();edge[] A = new edge[p];System.out.println("请输入具体边的数据：");for(int i = 0;i < p;i++) {int a = in.nextInt();int b = in.nextInt();int value = in.nextInt();A[i] = test.new edge(a, b, value);}if(test.getShortestPaths(n, s, A)) {for(int i = 0;i < test.result.length;i++)System.out.print(test.result[i]+" ");} elseSystem.out.println("给定图存在负环，没有最短距离");}
}

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