排列的生成(二) —

1. 定义

n n n个元素的全排列有 n ! n! n!个，如果将排列按顺序编号，并能够按照某种方法建立起每一个序号与一个排列之间的对应关系，那么就可以根据序号确定排列，反过来也可以根据排列确定它的序号。根据排列的序号生成对应排列的方法就称为序数法。
n ! = n ( n − 1 ) ! = [ ( n − 1 ) + 1 ] ( n − 1 ) ! = ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! + ( n − 1 ) ! \begin{aligned} n ! &=n(n-1) !=[(n-1)+1](n-1) ! \\ &=(n-1)(n-1) !+(n-1) ! \end{aligned} n!=n(n−1)!=[(n−1)+1](n−1)!=(n−1)(n−1)!+(n−1)!
同理可得
( n − 1 ) ! = ( n − 2 ) ( n − 2 ) ! + ( n − 2 ) ! (n-1) !=(n-2)(n-2) !+(n-2) ! (n−1)!=(n−2)(n−2)!+(n−2)!
代入上式可得
n ! = ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! + ( n − 2 ) ( n − 2 ) ! + ( n − 2 ) ! = ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! + ( n − 2 ) ( n − 2 ) ! + ( n − 3 ) ( n − 3 ) ! + ⋯ + 2 ⋅ 2 ! + 2 ! = ∑ k = 1 n − 1 k ⋅ k ! + 1 \begin{aligned} n ! &=(n-1)(n-1) !+(n-2)(n-2) !+(n-2) ! \\ &=(n-1)(n-1) !+(n-2)(n-2) !+(n-3)(n-3) !+\cdots+2 \cdot 2 !+2 ! \\ &=\sum_{k=1}^{n-1} k \cdot k !+1 \end{aligned} n!=(n−1)(n−1)!+(n−2)(n−2)!+(n−2)!=(n−1)(n−1)!+(n−2)(n−2)!+(n−3)(n−3)!+⋯+2⋅2!+2!=k=1∑n−1k⋅k!+1
上式减1得
n ! − 1 = ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! + ( n − 2 ) ( n − 2 ) ! + ⋯ + 2 ⋅ 2 ! + 1 ⋅ 1 ! n !-1=(n-1)(n-1) !+(n-2)(n-2) !+\cdots+2 \cdot 2 !+1 \cdot 1 ! n!−1=(n−1)(n−1)!+(n−2)(n−2)!+⋯+2⋅2!+1⋅1!
可得到 0 0 0到 n ! − 1 n!-1 n!−1的整数m可以唯一地表示为
m = a k − 1 ( k − 1 ) ! + a k − 2 ( k − 2 ) ! + ⋯ + a 2 ⋅ 2 ! + a 1 m=a_{k-1}(k-1) !+a_{k-2}(k-2) !+\cdots+a_{2} \cdot 2 !+a_{1} m=ak−1(k−1)!+ak−2(k−2)!+⋯+a2⋅2!+a1
其中 a i a_i ai满足 0 ⩽ a i ⩽ k , i = 1 , 2 , ⋯   , k − 1 0 \leqslant a_{i} \leqslant k, i=1,2, \cdots, k-1 0⩽ai⩽k,i=1,2,⋯,k−1
所以可以证明 0 0 0到 n ! − 1 n!-1 n!−1的 n ! n! n!个整数和序数 ( a n − 1 , a n − 2 , ⋯   , a 2 , a 1 ) \left(a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_{2}, a_{1}\right) (an−1,an−2,⋯,a2,a1)一一对应。

2. 序数法生成全排列算法

由排列 P 1 P 2 P 3 … P n P_1P_2P_3\dots P_n P1P2P3…Pn对应的序数 ( a n − 1 a n − 2 … a 1 ) (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1) (an−1an−2…a1)的规则为:
a i a_i ai = i + 1 i+1 i+1的右边比 i + 1 i+1 i+1小的数字的个数

例1：由排列数确定排列的序号
以1,2,3,4的排列4213为例，排列4213为例，排列4213，4的右边比它小的数有3位，故 a 3 = 3 a_3=3 a3=3；3的右边比3小的数为0，故 a 2 = 0 a_2=0 a2=0，2的右方比2小的数为1，故 a 1 = 1 a_1=1 a1=1，故排列4213对应的序数为(301)。
例2：由排列的序号确定排列数
承接上一个例子， a 3 = 3 a_3 = 3 a3=3，故4在排列中所在的位右方小的数有3个，故在排列数中的第一位为4。 a 2 = 0 a_2=0 a2=0，故3的右方没有比它小的，故在排列数中的第四位上，以此类推，得到最终的排列数为4213。
例3： n = 4 n=4 n=4的序数 ( a 3 a 2 a 1 ) (a_3a_2a_1) (a3a2a1)与对应的排列

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