算法设计与分析实验---动态规划
1.石子合并
任务描述
沿着河岸摆放 N
堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆,规定每次只能选相邻的 2
堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。 例如:4
堆石子4,5,9,4
,可以按(((4,5),9),4)
合并。
- 第一次合并得分是
9
分,合并之后石子堆是9,9,4
- 第二次合并得分是
18
分,合并之后石子堆是18,4
- 第三次合并得分是
22
分,合并之后石子堆是22
- 三次合并总得分
49
试设计出一个算法,计算出将 N
堆石子合并成 1
堆的最小得分和最大得分。
测试说明
输入格式
数据的第 1
行是正整数 N
,表示有N
堆石子。
第 2
行有 N
个整数,第i
个整数 ai
表示第i
堆石子的个数。
输出格式
输出共 2
行,第 1
行为最小得分,第 2
行为最大得分。
样例输入
4
4
5
9
4
样例输出
44
54
提示
1≤N≤100
,0≤ai≤20
。
思路:
例如:4
堆石子4,5,9,4
要知道从开头4合并到最后4的最小代价,就需要知道从4合并到9的最小代价再合并最后一个4.....由此知道递推关系:
dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j], dpmin[i][k] + dpmin[k + 1][j] + sum*[i->j]);
其中d[i][j]表示把第i到j堆合并成一堆的最小代价,sum*[i->j]表示第i到第j堆的石子数量之和。
由转移方程,可以看出要按照长度j-i进行迭代求解。
dpmax也是一样,只是把每次找最小值改为每次取最大值。
注:主函数中数组是从1开始存的不是0!!!
代码:
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
//在主函数中数组下标是从1开始的void dpStone(int a[],int n){/********** Begin **********///补充代码完成功能const int INF = 0x3f3f3f3f;int dpmin[100][100], sum[100], dpmax[100][100];dpmin[n][n] = { {0} };//将数组初始化dpmax[n][n] = { {0} };sum[n] = { 0 };sum[1] = a[1];//设置第一个石子数量for (int i = 2; i <= n; i++){sum[i] = sum[i - 1] + a[i];//存从1到i的石子数量和}for (int v = 1; v <= n; v++) // 表示i到j的间距{for (int i = 1; i <= n - v; i++)//i表示行{int j = i + v;//j表示列int temp = sum[j] - (i > 1 ? sum[i - 1] : 0);//i=1的时候,sum取0,temp为从i-1到j的石子数量和dpmin[i][j] = INF;//将此处的dp设置为无穷大,便于下面找最小值时使用//dpmax不用设置,因为是求最大值,与0相比即可for (int k = i; k < j; k++){dpmin[i][j] = min(dpmin[i][j], dpmin[i][k] + dpmin[k + 1][j] + temp);//比较不同分段方式取最小值dpmax[i][j] = max(dpmax[i][j], dpmax[i][k] + dpmax[k + 1][j] + temp);//比较不同分段方式取最大值}}}printf("%d\n%d", dpmin[1][n], dpmax[1][n]);/********** End **********/}
int main()
{int n;int a[105];cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];dpStone(a, n);return 0;}
可参考博客:http://t.csdn.cn/H0MBg
2.基因检测
任务描述
本关任务:找出两个串的最长公共子串的长度。
用一个字符串表示一段基因,例如:CTATGGGTTT
。两段基因的相似度定义为它们所包含的最大公共子串的长度。
例如:CCTTGG
和TGGGC
的最大公共子串为TGG
,它的长度为3
,则我们称CCTTGG
和TGGGC
的相似度为3
。 现给定两段基因,要求计算它们的相似度。
编程要求
在右侧编辑器中有一个函数Similar
,它有两个参数str1
,str2
,是两个字符串,长度不超过50
。
请你在这个函数中,计算并输出这两个字符串的相似度。
输入数据由评测系统读取,并传递给Similar
函数。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试:
测试输入: CCCCC
TTTTTGGGGGCC
预期输出: 2
测试输入: ACTGGG
DDD
预期输出: 0
思路:
dp[i][j]存从主串1-i和子串1-j的最长公共子串的长度
dp[i][j] =dp[i - 1][j - 1] + 1,str1[i]=str2[j]
dp[i][j]=0,str1[i]!=str2[j]
代码:
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;void Similar(char *str1,char *str2)
{/********** Begin **********///补充代码完成任务int dp[50][50];//dp[i][j]存从主串1-i和子串1-j的最长公共子串的长度int i = 0, j = 0;int max = 0, zichuan = 0;while (str2[j] != '\0'){i = 0;while (str1[i] != '\0'){if (str1[i] == str2[j]){dp[i][j] = (i >= 1 && j >= 1) ? dp[i - 1][j - 1] + 1 : 1;//数组从0开始的,防止数组越界}elsedp[i][j] = 0;if (dp[i][j] > max)//更新最大值max = dp[i][j];i++;}j++;}cout << max << endl;return;/********** End **********/
}
int main()
{char str1[55],str2[55];while(cin >> str1 >> str2)Similar(str1,str2);
}
第3关:药剂稀释
任务描述
本关任务:找出一个序列中的最长下降子序列其中的元素个数。
医院里有一种药剂,其可以稀释成不同的浓度供病人使用,并且对于已知浓度的该药剂,使用时只能稀释不能增加浓度。
由于这种药需求量较大,同一瓶药剂只能给某个病人以及排在他后面的若干人使用。不同的病人对药物的浓度要求可能不同。
现在为了最大限度的利用每一瓶药剂(不考虑容量),已知n
个病人所需药物浓度的序列,请计算出一瓶药剂能最多使用的人数。
编程要求
在右侧编辑器中有一个函数Cal
,它有两个参数arr
和n
。
arr
中包含n
个病人对药物浓度的要求。
请你在这个函数中补充代码,计算并输出一瓶药剂能最多使用的人数。
输入数据由评测系统读取,并传递给Cal
函数。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试:
测试输入: 6
0.7 0.9 0.6 0.8 0.8 0.4
预期输出: 4
每组输入有两行,第一行有一个数n
,第二行的n
个数为数组的内容。
思路:
要知道0.7可用的病人,就要找浓度比0.7小的0.6可用的病人...即找到最后一种浓度0.4能用的病人只能为1后,在向上找0.8...等所能用的病人数
注,一种药剂最少一个人使用,且药剂稀释后不能增加浓度,且只能给后面的病人使用
得dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1),arr[j]<arr[i]
代码:
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;void Cal(double arr[],int n)
{/********** Begin **********///补充代码完成任务int dp[105];//dp存以该药物为首可用的病人数for (int i = 0; i < n; i++)dp[i] = 1;int dan = 0;for (int i = n-2; i >=0; i--)//i为dp数组下标,j为arr下标{for (int j = n - 1; j > i; j--){if (arr[i] >= arr[j]){dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}}for (int i = 0; i < n; i++)dan = max(dan, dp[i]);cout << dan << endl;/********** End **********/
}
int main()
{double arr[105];int n;while(cin >> n){for(int i=0; i<n; i++) cin >> arr[i];Cal(arr,n);}return 0;
}
第4关:找相似串
任务描述
本关任务:找出最接近的相似串。
一般情况下,度量两个串S1
和S2
的相似性,可以通过从一个串变换成另一个串所需要的最少操作次数来衡量,需要的操作次数越少,则越相似。
假设从一个串变化成另一个串所允许的操作只有两种:插入一个字符或者删除一个字符。无论是插入还是删除一个符号,均算作一次操作。
现给你一个串S
,和一个串的集合T
,让你找出集合T
中与S
最相似的串。
编程要求
右侧编辑器中有一个函数Similar
,请在这个函数中读取数据完成任务。
输入数据由学员处理。输入的第一行为一个串S
,第二行是一个整数n
,范围0 < n < 20
,表示接下来集合T
中的串的个数。接下来n
行,每行为一个串。
注:所有字符串的长度不超过50
。
请输出T
中与S
最相似的串,如果有多个就输出多个串(按照输入时的顺序),每个串占一行。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试:
测试输入: abcd
4
abd
abdc
abed
aebcd
预期输出: abd
aebcd
提示: 对于第一个串abd
,在b
后插入一个c
就可以变成abcd
,操作次数为1
次。 第二个串abdc
,删除d
后面的c
,在d
前面增加一个c
,即可变成abcd
,操作次数为2
次。 第三个串abed
,删除d
前面的e
,在d
前面增加一个c
,即可变成abcd
,操作次数为2
次。 第四个串aebcd
,删除a
后面的e
即可变成abcd
,操作次数为1
次
算法思路
对一个子串来说:
当i = 0
时,dp[0][j] = j
;
当j = 0
时,dp[i][0] = i
;
当a[i] == b[j]
时,dp[i][j] = d[i-1][j-1]
;
当a[i] != b[j]
时,有两种操作,要么删除一个串的字符,要么添加一个串的字符,都记为一次操作,dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
代码:
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX = 50;
void Similar()
{/********** Begin **********///补充代码完成功能char s[MAX];int n,end;cin >> s>>n;//读取主串和子串个数int len_s = strlen(s);char arr[20][MAX];int caozuo[20];//存操作次数int dp[MAX][MAX];//用数组dp[i][j]表示,子串从1-i转换到主串的操作数。for (int i = 0; i < n; i++)//读取子串{cin>>arr[i];} for (int i = 0; i < len_s; i++){dp[0][i] = i;}for (int k = 0; k < n; k++)//第k个子串{int len = strlen(arr[k]);//子串长度//初始化for (int j = 0; j < len; j++)dp[j][0] = j;for (int i = 1; i < len_s; i++)//i为主串下标{for (int j = 1; j < len; j++)//j为子串下标{if (s[i] == arr[k][j])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];elsedp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;}}caozuo[k] = dp[len_s-1][len-1];//存每个子串的最小操作数}end = caozuo[0];for (int i = 1; i < n; i++)end = min(end, caozuo[i]);for (int i = 0; i < n; i++){if (caozuo[i] == end)cout << arr[i] << endl;}/********** End **********/
}
int main()
{Similar();
}
第5关:聪明的寻宝人
任务描述
本关任务:计算寻宝人所能带走的宝物的最大价值。
一个寻宝人在沙漠中发现一处神秘的宝藏,宝藏中共有n
个宝物(n
不超过20
),每个宝物的重量不同,价值也不同,宝物i
的重量是wi
,其价值为vi
。
寻宝人所能拿走的宝物的总重量为m
(m
不超过50
)。请帮助寻宝人写一个程序,计算寻宝人能够获得的最大总价值。
编程要求
在右侧编辑器中有一个函数MaxValue
,它有四个参数values
,weights
,n
,m
。
values
和weights
分别存放了n
件宝物的价值和重量,m
为寻宝人所能携带的最大重量。
请在这个函数中补充代码,计算并输出寻宝人所能获得的最大总价值。
输入数据由评测系统读取,并传递给MaxValue
函数。具体见测试说明。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试:
测试输入: 3 10
3 4
4 5
5 6
预期输出: 11
每组输入有多行,第一行有两个数n
和m
,分别为宝石数量和寻宝人载重。下面有n
行数据,每一行有两个数,分别是宝石重量和宝石价值。
思路:
是一个0-1背包问题
0-1背包问题参考博客:http://t.csdn.cn/hIcEL
代码:
#include <iostream>
using namespace std;void MaxValue(int values[],int weights[],int n,int m)
{/********** Begin **********///补充代码完成任务int dp[30][30];//for (int i = 0; i < 30; i++){dp[0][i] = 0;dp[i][0] = 0;}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){if (j >= weights[i]){dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i - 1][j - weights[i]] + values[i]);}else{dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}cout << dp[n][m] << endl;/********** End **********/
}
int main()
{int vs[30],ws[30],n,m;while(cin >> n >> m){for(int s =1;s <= n;s++)cin >> ws[s] >> vs[s];MaxValue(vs,ws,n,m);}
}
以上为个人见解,有问题还请指正
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