这篇文章内容翻译自论文 Cracking the problem with 33，论文研究了方程 在一些小的 值的解，并首次将33写成了3个整数的立方和。完成中文可以查看项目 qiwihui/cracking-the-problem-with-33。截止到目前，100以内的自然数就剩下42还没有找到关于立方和的整数解了！

Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything. -- 42

以下是论文正文翻译：

解决33问题

作者：ANDREW R. BOOKER

摘要 受到Tim Browning和Brady Haran的 Numberphile 视频"未解决的33问题"的启发， 我们研究了方程 在一些小的 值的解。 我们找到了 的第一个已知解。

1. 简介

令 为正整数，其中 。 然后Heath-Brown [HB92] 推测 有无限多的三元组 满足

早在1954年就开始对（1）进行各种数值研究 [MW55]；请参阅 [BPTYJ07]，了解截至2000年的这些研究的历史。 自那时起进行的计算由于Elkies [Elk00] 而被算法所主导。我们所知道的最新内容是Huisman [Hui16] 的论文， 该论文确定了（1）的所有解，其中 且 。 特别是，Huisman报告说除了13个 的值以外的所有解决方案都是已知的：

Elkies的算法通过使用格基减少（lattice basis reduction）在Fermat曲线 附近寻找有理点来工作；它非常适合同时找到许多 值的解。 在本文中，我们描述了一种在k值确定时更有效的不同方法。 它的优点是可以找到所有具有 最小 坐标界限的解，而不是Elkies算法中的最大坐标。 这总是产生搜索范围的非平凡的扩张（nontrivial expansion），因为除了可以单独考虑的有限多个例外之外，还有

此外，根据经验，通常情况是其中一个变量比其他变量小得多，因此我们希望实际上增益更大。

我们的策略类似于一些早期的方法（特别参见 [HBLtR93]，[Bre95]，[KTS97] 和 [BPTYJ07]）， 并且基于观察： 的任何解都具有 作为一个因子。 相对于早期研究，我们的主要贡献是注意到，通过一些时间空间权衡，运行时间在高度边界内非常接近线性， 并且在现代64位计算机上实现时非常实用。

更详细地说，假设 是（1）的解，并且不失一般性，假设 。 然后我们有

如果 则 ，并且 的每个值都产生一个解。 否则，设 ， 我们看到 可以除 并且

得到

因此，给定 的候选值，通过遍历 的所有除数， 有一个有效的程序来查找 和 的所有相应值。 这个基本算法在假设整数分解的时间复杂度的标准启发式（standard heuristics）下，已经能在 时间 内找到满足 的所有解。 在下一节中，我们将解释如何避免因子分解并更有效地实现相同目的。

感谢 感谢Roger Heath-Brown提供了有用的意见和建议。

2. 方法

为了便于表示，我们假设 ；请注意，这适用于（2）中的所有 。 由于上述基本算法对于寻找小解是合理的，因此我们将假设 。 此外，如果我们将（1）专门用于 的解，那么我们得到Thue方程 ，这是有效可解的。 使用 PARI/GP [The18] 中的Thue求解器，我们验证了（2）中的 不存在这样的解。 因此，我们可以进一步假设 。

由于 ，我们有

同样，因为 和 ， 我们有 。 将（1）的两边乘以 ，我们得到

令 ，并且 。 如果 则

由于 ， 这与我们的假设不相容，即 和 。 因此我们必然有 。

接下来，减少（4）模3并回想我们的假设 ，我们有

设 使得 。 然后，由于每个立方数都与 或 相等， 我们必然有 ， 因此 。 基于（3），当且仅当 以及 是平方数时， 我们得到（1）的解。

总之，找到（1）的所有解并且满足 ， 和 ，对于每个与3互质的 ， 解决以下系统就足够了：

我们解决这个问题的方法很简单：我们通过它们的主要因子分解递归地计算 的值， 并应用中国剩余定理来将 的解减少到素数模幂的情况下， 其中标准算法可以适用。设 表示 模 的立方根数。通过标准分析估计，由于 不是立方数，我们有

启发式地，计算对所有素数 的 的解 可以用 上的整数在 算术运算来完成； 见例如 [[NZM91]，§2.9，练习8]中描述的算法。假设这一点，可以看出， 使用Montgomery的批量反转技巧[[Mon87]，§10.3.1]，计算对所有正整数 的 的根的剩余工作可以再次用 算术运算完成。

因此，我们可以在线性时间内计算满足（5）的第一行的所有 ， 作为算术进展（arithmetic progressions）的并集。为了检测最后一行的解，有一个快速的方法来确定 是一个平方数 至关重要。我们首先注意到对于固定 ，这种情况减少到在椭圆曲线上找到积分点； 特别是，令 和 ，从（3）中我们看到（X，Y）位于Mordell曲线上

因此，对于固定 ，存在至多有限多个解，并且它们可以被有效地约束。 对于 的一些小值，找到（6）上的所有积分点并检查是否产生任何满足（1）的解是切实可行的。 例如，使用Magma[[BCFS18]，§128.2.8]中的积分点函数（functionality）， 我们验证了如（2）中的 和 情况下没有解， 除了 。

接下来我们自然注意到一些同余和可分性约束：

引理 设 为（5）的解，设 为素数， 设 ，。则

(i) ； (ii) 如果 则 ； (iii) 如果 则 ； (iv) 如果 则 。

证明 令 ， 令 ，我们有 ， 观察到 ，模27，我们有

这消失了模9，所以为了使 成为平方数，它也必须消除mod 27。 于是

减少（1）模2我们得到 ，这得到（i）。

接下来设 和 ，这样就有

如果 则 ， 但是当 时这是不可能的，因为 不是 的平方模。 因此，在这种情况下我们必须 。

接下来假设 。 我们考虑以下情况，涵盖所有可能性：

• 若 则 ，那么 。
• 若 且 ， 则 ，那么 。
• 若 则 。
• 如果 且 则 ，这是不可能的。

因此，在任何情况我们得出结论 。

最后，假设 和 。如果 则无需证明的，所以假设不然。 由于 ，我们必须有 ，因为

通过部分（iii）得出 ， 因此 。

因此，一旦 的残差类（residue class）固定， 则其残差模 是确定的。还要注意，条件（ii）和（iii）对于测试 是有效的。

然而，即使有这些优化，也有 对 满足（5）的第一行和引理的结论（i）和（iv）。 因此，为了实现比 更好的运行时间，需要从一开始就消除一些 值。 我们通过标准的时间空间交换来实现这一目标。确切地说，设置 ， 并且让 是区间 之间的素数的乘积。 根据素数定理，我们得到 。如果 是平方数， 那么对于任意素数 我们有

其中 。 当 时， 我们首先为每个残差类 计算该函数， 并且仅选择对于每个 满足（7）的那些残基。 由Hasse约束，允许的残差的数量最多为

因此，要考虑的 值的总数最多为

对于没有以这种方式消除的 ，我们遵循类似的策略， 其中一些其他辅助模 由较大的素数组成，以加速平方测试。 我们预先计算模为 的立方数表和Legendre符号模 ， 因此将测试（7）简化为了表查找。只有当所有这些测试都通过时， 我们才能在多精度算术中计算 并应用一般的平方检验，这种情况对于一小部分候选值来说都是如此。 事实上，我们期望Legendre测试的数量平均有限，所以总的来说， 找到所有解决方案的 应该要求不超过 次表查找和对 中整数的算术运算。

因此，当 符合机器字大小时，我们预计运行时间几乎是线性的，这就是我们在实践中观察到的 。

3. 实现

我们在C中实现了上述算法，其中有一些内联汇编程序来源于由Ben Buhrow [Buh19] 编写的Montgomery算法 [Mon85]， 以及Kim Walisch的用于枚举素数的 primesieve 库 [Wal19]。

该算法自然地在具有超过 的素因子和 具有 -平滑的素数的 的值之间分配。 前一组 消耗超过运行时间的三分之二，但更容易并行化。 我们在布里斯托大学高级计算研究中心的大规模并行集群Bluecrystal Phase 3上运行了这一部分。 对于平滑的 ，我们使用了一个单独的32核和64核节点的小集群。

我们搜索了满足 和 的（1）的解，找到了以下结果：

总计算在三个星期的实际时间中大约使用了15个核年。

参考文献

（略）

School of Mathematics, University of Bristol, University Walk, Bristol, BS8 1TW, United Kingdom

E-mail address: andrew.booker@bristol.ac.uk

博客参考：

• 人类第一次将33写成了3个整数的立方和