关于中国邮递员问题和欧拉图应用
关于中国邮递员问题和欧拉图应用
中国邮递员问题:
1962年有管梅谷先生提出中国邮递员问题(简称CPP)。一个邮递员从邮局出发,要走完他所管辖的每一条街道,可重复走一条街道,然后返回邮局。任何选择一条尽可能短的路线。
这个问题可以转化为:给定一个具有非负权的赋权图G,
(1)用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*,使得尽可能小。
(2)求G*的Euler 环游。
人们也开始关注另一类似问题,旅行商问题(简称TSP)。TSP是点路优化问题,它是NPC的。而CPP是弧路优化问题,该问题有几种变形,与加权图奇点的最小完全匹配或网络流等价,有多项式算法。[1]
欧拉图:
图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图。
无向图欧拉图判定:
无向图G为欧拉图,当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。
有向图欧拉图判定:
有向图G为欧拉图,当且仅当G的基图[2]连通,且所有顶点的入度等于出度。
欧拉回路性质:
性质1 设C是欧拉图G中的一个简单回路,将C中的边从图G中删去得到一个新的图G’,则G’的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。
性质2 设C1、C2是图G的两个没有公共边,但有至少一个公共顶点的简单回路,我们可以将它们合并成一个新的简单回路C’。
欧拉回路算法:
1 在图G中任意找一个回路C;
2 将图G中属于回路C的边删除;
3 在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路;
4 将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。
由于该算法执行过程中每条边最多访问两次,因此该算法的时间复杂度为O(|E|)。
如果使用递归形式,得注意|E|的问题。使用非递归形式防止栈溢出。
如果图 是有向图,我们仍然可以使用以上算法。
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1116 有向图欧拉图和半欧拉图判定
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2337 输出路径
中国邮递员问题①:
一个邮递员从邮局出发,要走完他所管辖的每一条街道,可重复走一条街道,然后返回邮局。所有街道都是双向通行的,且每条街道都有一个长度值。任何选择一条尽可能短的路线。
分析:
双向连通,即给定无向图G。
如果G不连通,则无解。
如果G是欧拉图,则显然欧拉回路就是最优路线。
如果G连通,但不是欧拉图,说明图中有奇点[3]。奇点都是成对出现的,证明从略。
对于最简单情况,即2个奇点,设(u,v)。我们可以在G中对(u,v)求最短路径R,构造出新图G’ = G ∪ R。此时G’就是欧拉图。
证明:u和v加上了一条边,度加一,改变了奇偶性。而R中其他点度加二,奇偶性不变。
由此可知,加一次R,能够减少两个奇点。推广到k个奇点的情况,加k/2个R就能使度全为偶数。
接下的问题是求一个k个奇点的配对方案,使得k/2个路径总长度最小。
这个就是无向完全图最小权匹配问题。有一种Edmonds算法,时间复杂度O(N^3)。[4]
也可转换为二分图,用松弛优化的KM算法,时间复杂度也是O(N^3)。
完整的算法流程如下:
1 如果G是连通图,转2,否则返回无解并结束;
2 检查G中的奇点,构成图H的顶点集;
3 求出G中每对奇点之间的最短路径长度,作为图H对应顶点间的边权;
4 对H进行最小权匹配;
5 把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径,加入到图G中得到图G’;
6 在G’中求欧拉回路,即所求的最优路线。
中国邮递员问题②:
和①相似,只是所有街道都是单向通行的。
分析:
单向连通,即给定有向图G。
和①的分析一样,我们来讨论如何从G转换为欧拉图G’。
首先计算每个顶点v的入度与出度之差 d’(v)。如果G中所有的v都有d’(v)=0,那么G中已经存在欧拉回路。
d’(v)>0 说明得加上出度。d’(v)<0说明得加上入度。
而当d’(v)=0,则不能做任何新增路径的端点。
可以看出这个模型很像网络流模型。
顶点d’(v)>0对应于网络流模型中的源点,它发出d’(v)个单位的流;顶点d’(v)<0对应于网络流模型中的汇点,它接收-d’(v)个单位的流;而d’(v)=0的顶点,则对应于网络流模型中的中间结点,它接收的流量等于发出的流量。在原问题中还要求增加的路径总长度最小,我们可以给网络中每条边的费用值 设为图 中对应边的长度。这样,在网络中求最小费用最大流,即可使总费用最小。
这样构造网络N:
1 其顶点集为图G的所有顶点,以及附加的超级源 和超级汇 ;
2 对于图G中每一条边(u,v),在N中连边(u,v),容量为∞,费用为该边的长度;
3 从源点 向所有d’(v)>0的顶点v连边(s,v),容量为d’(v),费用为0;
4 从所有d’(v)<0的顶点 向汇点t连边(u,t),容量为-d’(v),费用为0。
完整的算法流程如下:
1 如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0,转2,否则返回无解并结束;
2 计算所有顶点v的d’(v)值;
3 构造网络N;
4 在网络N中求最小费用最大流;
5 对N中每一条流量f(u,v)的边(u,v),在图G中增加f(u,v)次得到G’;
6 在G’中求欧拉回路,即为所求的最优路线。
NPC问题:
如果部分街道能够双向通行,部分街道只能单向通行。这个问题已被证明是NPC的。[5]
[1] 大城市邮政投递问题及其算法研讨
[2] 忽略有向图所有边的方向,得到的无向图称为该有向图的基图。
[3] 度为奇数的顶点称为奇点。
[4] J. Edmonds, E. Johnson 《Matching, Euler tours, and the Chinese postman》
[5] C. Papadimitriou 《The complexity of edge traversing》
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