常用公式

1.Cnm=Cn−1m−1+Cn−1mC_{n}^{m}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m
2.mCnm=nCn−1m−1mC_{n}^{m}=nC_{n-1}^{m-1}mCnm=nCn−1m−1
3.Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2nC_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}=2^nCn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
4.Cn1+2∗Cn2+⋯+n∗Cnn=n2n−1C_{n}^{1}+2*C_{n}^{2}+\cdots+n*C_{n}^{n}=n2^{n-1}Cn1+2∗Cn2+⋯+n∗Cnn=n2n−1
证明：
利用mCnm=nCn−1m−1mC_{n}^{m}=nC_{n-1}^{m-1}mCnm=nCn−1m−1
Cn1+2∗Cn2+⋯+n∗Cnn\ \ \ \ C_{n}^{1}+2*C_{n}^{2}+\cdots+n*C_{n}^{n} Cn1+2∗Cn2+⋯+n∗Cnn
=nCn−10+n∗Cn−11+⋯+n∗Cn−1n−1=n2n−1=nC_{n-1}^{0}+n*C_{n-1}^{1}+\cdots+n*C_{n-1}^{n-1}=n2^{n-1}=nCn−10+n∗Cn−11+⋯+n∗Cn−1n−1=n2n−1
** 5.**Cn1+22∗Cn2+⋯+n2∗Cnn=n(n+1)2n−2C_{n}^{1}+2^2*C_{n}^{2}+\cdots+n^2*C_{n}^{n}=n(n+1)2^{n-2}Cn1+22∗Cn2+⋯+n2∗Cnn=n(n+1)2n−2
证明略（同4）
6.Cn11−Cn22+⋯+(−1)n−1Cnnn=11+12+⋯+1n\frac{C_{n}^{1}}{1}-\frac{C_{n}^{2}}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{C_{n}^{n}}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}1Cn1−2Cn2+⋯+(−1)n−1nCnn=11+21+⋯+n1
证明：
利用公式1
S(n)=∑i=1n(−1)i−1Cnii=∑i=1n(−1)i−1[Cn−1i+Cn−1i−1]i=∑i=1n(−1)i−1Cn−1ii+∑i=1n(−1)i−1Cn−1i−1i=∑i=1n(−1)i−1Cn−1ii+1n∑i=1n(−1)i−1CniS(n)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-1)^{i-1}C_n^i}{i}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-1)^{i-1}[C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i-1}]}{i}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-1)^{i-1}C_{n-1}^i}{i}+\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-1)^{i-1}C_{n-1}^{i-1}}{i}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{(-1)^{i-1}C_{n-1}^i}{i}+\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i-1}C_{n}^{i}S(n)=i=1∑ni(−1)i−1Cni=i=1∑ni(−1)i−1[Cn−1i+Cn−1i−1]=i=1∑ni(−1)i−1Cn−1i+i=1∑ni(−1)i−1Cn−1i−1=i=1∑ni(−1)i−1Cn−1i+n1i=1∑n(−1)i−1Cni
S(n)=∑i=1n−1(−1)i−1Cn−1ii+(−1)n−1Cn−1nn+1nS(n)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{(-1)^{i-1}C_{n-1}^i}{i}+\frac{(-1)^{n-1}C_{n-1}^n}{n}+\frac{1}{n}S(n)=i=1∑n−1i(−1)i−1Cn−1i+n(−1)n−1Cn−1n+n1
∵Cn−1n=0\because C_{n-1}^n=0∵Cn−1n=0
∴S(n)=∑i=1n−1(−1)i−1Cn−1ii+1n\therefore S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{(-1)^{i-1}C_{n-1}^i}{i}+\frac{1}{n}∴S(n)=i=1∑n−1i(−1)i−1Cn−1i+n1
得到递推公式：S(n)=S(n−1)+1n得到递推公式： S(n)=S(n-1)+\frac{1}{n}得到递推公式：S(n)=S(n−1)+n1
S(1)=1S(1)=1S(1)=1
∴S(n)=∑i=1n1i\therefore S(n)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i}∴S(n)=i=1∑ni1
7.(Cn0)2+(Cn1)2+⋯+(Cnn)2=C2nn(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+\cdots+(C_n^n)^2=C_{2n}^n(Cn0)2+(Cn1)2+⋯+(Cnn)2=C2nn
证明：
(1+t)2n=(1+t)n(1+t)n(1+t)^{2n}=(1+t)^n(1+t)^n(1+t)2n=(1+t)n(1+t)n
(1+t)n=Cn0t0+Cn1t1+Cn2t2+⋯+Cnntn(1+t)^n=C_n^0t^0+C_n^1t^1+C_n^2t^2+\cdots+C_n^nt^n(1+t)n=Cn0t0+Cn1t1+Cn2t2+⋯+Cnntn
Cnktk∗Cnn−ktn−k=(Cnk)2∗tnC_n^kt^k*C_n^{n-k}t^{n-k}=(C_n^k)^2*t^nCnktk∗Cnn−ktn−k=(Cnk)2∗tn
把所有t为n次的系数相加
有(Cn0)2+(Cn1)2+⋯+(Cnn)2=C2nn(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+\cdots+(C_n^n)^2=C_{2n}^n(Cn0)2+(Cn1)2+⋯+(Cnn)2=C2nn

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