简介

在介绍VO，RVO之前，需要先介绍路径规划。

对Agent进行路径规划，实际上要完成的任务就是让Agent从点A无碰撞地移动到点B。而路径规划的过程是层次化的，其基本框架大致如下：

High level:

dijkstra等算法。

Low level: VO, RVO,

ORCA等底层避障算法。

很容易可以跟我们的日常生活进行类比，比如说我们要从学校的教学楼走到宿舍楼，那么以上框架对应的就是：

High level:

通过dijkstra算法，得到路径为: 教学楼→饭堂→体育馆→图书馆→宿舍楼。

Low level:

通过底层避障算法如VO，RVO，ORCA等底层避障算法，保证我们走的每一段路(e.g. 教学楼→饭堂)，都不会跟别的同学发生碰撞。

VO和RVO就是经典的底层避障算法。其中VO是最经典的，RVO则在VO的基础上进行了一些改进，解决了VO抖动的问题。

VO(Velocity

Obstacle)

一句话总结VO的思路：只要在未来有可能会发生碰撞的速度，都排除在外。

为方便描述，以下都假设是在平面内，圆形物体之间的避障。

VO的直观理解

Q:

假设B静止，那么A取什么速度能够保证一定不会跟B发生碰撞呢？

A:

一种很粗暴的方法，就是把A化作质点，选择跟B¯B¯(扩展后的B)不相交的速度方向。以后只要在每个周期里面，都选择不在VO的速度，就能够保证不会碰撞。

以上就是VO的直观理解，需要注意的是：

VO是指速度方向与B¯B¯相交的部分，即会发生碰撞的部分(图中灰色斜线部分)。

VO是抱着宁杀错，不放过的思想，把所有未来有可能会发生碰撞的速度都放弃了。

实际上假如仅要求一定时间内不发生碰撞的话，有更多的速度可供选择，比如说上图中的(v′AvA′)。

VO的图示理解

有了直观理解之后就可以用更加严谨一点的数学语言图示VO了。

首先将直观理解中口语化的表达转换成对应的数学语言表示。

物体A(B)：以pApA为圆心，rArA为半径的点集AA

假设B静止：A相对于B的速度，即相对速度vA−vBvA−vB

把A化作质点：求集合BB与集合−A−A的Minkowski

sum，即闵氏和，B⊕−AB⊕−A，其中

A⊕B={a+b | a∈A,b∈B}A⊕B={a+b | a∈A,b∈B}

−A={−a | a∈A}−A={−a | a∈A}

于是就有了下图的左半部分(浅色三角形)：

而为了直接求vAvA绝对速度的VO而不是vA−vBvA−vB相对速度的VO，将相对速度下的VO延vBvB方向平移，就有了图中右半部分(深色三角形)。

VO的数学定义

理解了图示，数学定义就很好理解了。

首先给出射线的定义，用λ(p,v)λ(p,v)表示以点pp为顶点，方向为vv的射线。 λ(p,v)={p+tv|t≥0}λ(p,v)={p+tv|t≥0}

接下来就是VO的定义了，用VOAB(vB)VOBA(vB)表示速度为vBvB的BB对AA的VO VOAB(vB)={vA|λ(pA,vA−vB)∩B⊕−A≠∅}VOBA(vB)={vA|λ(pA,vA−vB)∩B⊕−A≠∅}

RVO(Reciprocal

Velocity Obstacle)

VO给出了很漂亮的避障条件，所以后面很多底层的避障算法都是基于VO的，而RVO就是其中之一。

RVO主要解决了VO的抖动问题

抖动现象：如下左图所示，即AA会在vAvA与v′AvA′之间来回切换

RVO的效果：如下右图所示，保持vAvA，不会抖动

证明VO抖动现象存在

首先论文给出了VO的三条性质

Symmetry：vAvA的AA会撞上vBvB的BB，则vBvB的BB也会撞上vAvA的AA vA∈VOAB(vB)⇔vB∈VOBA(vA)vA∈VOBA(vB)⇔vB∈VOAB(vA)

Translation Invariance：vAvA的AA会撞上vBvB的BB，则vA+uvA+u的AA会撞上vB+uvB+u的BB vA∈VOAB(vB)⇔vA+u∈VOAB(vB+u)vA∈VOBA(vB)⇔vA+u∈VOBA(vB+u)

Convexity：在VOAB(vB)VOBA(vB)的左(右)侧的两个速度之间的任意速度，也在VOAB(vB)VOBA(vB)的左(右)侧。VO左(右)侧如下图所示： vA∉→VOAB(vB)∧v′A∉→VOAB(vB)⇒(1−α)vA+αv′A∉→VOAB(vB), for 0≤α≤1vA∉→VOBA(vB)∧vA′∉→VOBA(vB)⇒(1−α)vA+αvA′∉→VOBA(vB), for 0≤α≤1

接下来是抖动现象存在的证明

假设初始状态为会发生碰撞：vA∈VOAB(vB), vB∈VOBA(vA)vA∈VOBA(vB), vB∈VOAB(vA)

由于在对方的VO内，所以各自选择新的速度以防止碰撞：v′A∉VOAB(vB), v′B∉VOBA(vA)vA′∉VOBA(vB), vB′∉VOAB(vA)

由前面VO的Symmetry性质可知：此时，原来的速度不在当前速度的VO内：vB∉VOBA(v′A), vA∉VOAB(v′B)vB∉VOAB(vA′), vA∉VOBA(vB′)

假设我们更加prefer原来的速度，则又会回到原来的vAvA与vBvB

于是在1→4之间循环，即发生抖动

RVO的Insight

首先回想一下为什么会发生抖动：

双方为了避障，都偏移了当前速度太多，导致更新速度后，原来速度不再会发生碰撞。

那么我们有没有办法减少对当前速度的偏移，同时又能保证避障呢，RVO的回答是肯定的：

缩小VO的大小，新的”VO”就叫做RVO

p.s.

我个人对Reciprocal的理解是：相对于VO完全把对方当做木头，RVO假设对方在避障中也会承担一定责任，所以不用完全靠自己改变速度来走出VO，有种互相合作避障的感觉。

或者换一个角度理解，不再直接选择VO外的速度v′AvA′作为新的速度，而是average当前速度vAvA与VO外的速度v′AvA′

RVO的定义与图示

速度为vBvB的BB对速度为vAvA的AA产生的RVO为：

RVOAB(vB,vA)={v′A| 2v′A−vA∈VOAB(vB)}RVOBA(vB,vA)={vA′ | 2vA′−vA∈VOBA(vB)}

图示理解如下：

释意：

2v′A−vA2vA′−vA：vAvA相对于v′AvA′的对称点。

所以公式的含义是：对称点在原VO中，则中点在RVO中。

所以RVO的构成是：vAvA与原VO中的点的中点。

RVO不会发生碰撞且没有抖动现象的证明

这一部分不赘述了，论文中写得很详尽，只说一下证明的思路：

双方选择同侧避障时，不会发生碰撞。

双方一定会选择同侧避障。

不会有抖动现象：原来会撞的在选择新速度后依然会撞。

收获

用数学语言来描述问题：化作质点的描述、抖动的描述。

从实际应用中发现问题：抖动问题的发现。

特殊到一般的推广：论文后面还将RVO推广到一般情况，很漂亮的推广。

References