信号与系统 chapter10 系统的初值问题与系数匹配法

系统的初值问题就是让你求一下系统在0时刻的y(t)y(t)y(t)函数

我们看到它要我们求关于t=0t=0t=0时刻的一些参数，我们这里首先就要想到冲激函数，为什么？因为冲激函数最特殊，它的特性就是在0时刻才有定义，才有值，我们又发现，题目中有一个y′(t)y'(t)y′(t)，这就是在暗示我们要设置一个函数，求导之后可以为冲激函数的，那么我们自然而然就想到了阶跃函数，如下：

原因如下：最高求导是求了二阶导，而δ(t)\delta(t)δ(t)是由ξ(t)\xi(t)ξ(t)求导得来的，所以只有y′′(t)y''(t)y′′(t)包含δ(t)\delta(t)δ(t)，底下那两个式子也好理解，回想我们大一学习高数时函数极限的思想，0时刻两端分别有不同的趋近方向的函数，所以它们的导数不同，但函数值归于同一点，所以有y(0+)=y(0−)=2y(0_+)=y(0_-)=2y(0+)=y(0−)=2
下面我们就要计算y′(0+)y'(0_+)y′(0+)了，可以看到，题目中已经为我们贴心的给出了y′(0−)y'(0_-)y′(0−)，这个条件前面没用，到这一步怎么说也得使用了，我们又观察式子发现其中有一阶导数与二阶导数，而原函数的在t=0t=0t=0值是已知的，到这里了怎么说也得给式子两边积分一下，如下：

关于δ(t)\delta(t)δ(t)的积分，想不明白了就想一想积分的意义，不就是求一下面积吗，冲激函数的面积始终为1，不就出来了，后面那个阶跃函数因为积分区间无限趋近于0，结果自然也是0，然后把咱们第一问里求出来的y(0+)y(0−)y(0_+) y(0_-)y(0+)y(0−)带入不久出来了，结果如下：

以上，就是信号与系统的初值匹配法（这个名字不是我起的，我觉得这个名字一点也不好）

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