【leetcode】灯泡开关c++

题目描述：

初始时有 n 个灯泡处于关闭状态。第一轮，你将会打开所有灯泡。接下来的第二轮，你将会每两个灯泡关闭一个。

第三轮，你每三个灯泡就切换一个灯泡的开关（即，打开变关闭，关闭变打开）。第 i 轮，你每 i 个灯泡就切换一个灯泡的开关。直到第 n 轮，你只需要切换最后一个灯泡的开关。

找出并返回 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

示例1:

输入：n = 3
输出：1
解释：
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭].
你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。

示例2:

输入：n = 0
输出：0

示例3:

输入：n = 1
输出：1

提示：

0 <= n <= 109

代码：

class Solution {public:int bulbSwitch(int n) {int s=0;for(int i=0;i<n;i++){ if(int(sqrt(i+1))*int(sqrt(i+1))==i+1)s=s+1;}return s;}
};

属于数论问题，用多层循环会超时。

第 i 次改变，会每隔 i 个灯泡就切换一次灯泡状态；即第 i 次操作时，会改变所有编号为 i 的倍数的灯泡的状态。

所以编号为 a 的灯泡，只要a是x的倍数，灯泡a就会在第x次被改变状态；即灯泡a会在a的约数次操作中被改变，一共被改变的次数为a的约数的个数。

灯泡只有开和关两个状态，初始为关闭状态，则偶数次操作灯泡关闭，奇数次操作灯泡打开；即灯泡编号的约数的个数为奇数时，灯泡才亮起。

而除了完全平方数的约束个数为奇数，其他数字的约数都是成双成对出现，均为偶数。

对于灯泡1～n，判断 i 是否为完全平方数，若是则亮起的灯泡数+1。

简化求完全平方数代码：

class Solution {public:int bulbSwitch(int n) {return int(sqrt(n));}
};

根据数论，数字1～n中，完全平方数的个数为根号n，返回sqrt(n)向下取整即可。

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