为什么等价无穷小不能在加减法中使用

无论是课堂上还是教科书中，都会告诉我们，等价无穷小替换只能在乘除法中使用，不能在加减法中使用。但是大家会发现，有的时候在加减法中使用等价无穷小是可以得到正确结果的，那是否在加减法中也有办法使用等价无穷小呢？

不行！加减法替换偶然得到的所谓正确结果就是瞎猫碰上了死耗子，

为什么加减法不行

看这样一道题使用等价无穷小解：
lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x 3 = x → 0 , x ∼ sin ⁡ x lim ⁡ x → 0 x − x x 3 = lim ⁡ x → 0 0 x 3 = 0 \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x^3}\xlongequal{x\rightarrow 0,x\sim\sin x}\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{0}{x^3}=0 x→0limx3x−sinxx→0,x∼sinx x→0limx3x−x=x→0limx30=0
这个结果明显是错误的，我们使用洛必达得到正解：
lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x 3 = 0 0 lim ⁡ x → 0 1 − cos ⁡ x 3 x 2 = 0 0 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x 6 x = 0 0 lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x 6 = 1 6 \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x^3}\xlongequal{\frac00}\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{3x^2}\xlongequal{\frac00}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{6x}\xlongequal{\frac00}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x}{6}=\frac16 x→0limx3x−sinx00 x→0lim3x21−cosx00 x→0lim6xsinx00 x→0lim6cosx=61
那为什么会发生错误？原因是等价无穷小的本质就是相关函数泰勒展开到第一个系数非零的项，在这道题中，余项对结果产生了影响。

我们以佩亚诺余项为例，对此题如果将 sin ⁡ x \sin x sinx泰勒展开到第一项后，是这样的：
lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x 3 = lim ⁡ x → 0 x − x + o ( x ) x 3 = lim ⁡ x → 0 o ( x ) x 3 \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-x+o(x)}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{o(x)}{x^3} x→0limx3x−sinx=x→0limx3x−x+o(x)=x→0limx3o(x)
这里的佩亚诺余项 o ( x ) o(x) o(x)是 x x x的高阶无穷小，但是无法和 x 3 x^3 x3进行比较，因此到这里就无法计算了，但同时这部分也不能够舍去。而如果将 sin ⁡ x \sin x sinx展开到第二个系数非零项就可以得到正确结果：
lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x 3 = lim ⁡ x → 0 x − x + 1 6 x 3 + o ( x 3 ) x 3 = lim ⁡ x → 0 1 6 x 3 + o ( x 3 ) x 3 = 1 6 \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-x+\frac16x^3+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac16x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac16 x→0limx3x−sinx=x→0limx3x−x+61x3+o(x3)=x→0limx361x3+o(x3)=61

其中 o ( x 3 ) 是 x 3 的高阶无穷小，因此 lim ⁡ x → 0 o ( x 3 ) x 3 = 0 \text{其中}o(x^3)\text{是}x^3\text{的高阶无穷小，因此}\lim_{x\rightarrow0}\frac{o(x^3)}{x^3}=0 其中o(x3)是x3的高阶无穷小，因此x→0limx3o(x3)=0

这就是使用泰勒展开的“上下同阶”原则。如果这道题的分母是 x x x，那么使用等价无穷小得到结果为0就是正确的，当然，这个正确的结果也只是巧合而已，碰巧 sin ⁡ x \sin x sinx展开到第一项剩下的佩亚诺余项是分母的高阶无穷小。

到这里，我们解释了加减法使用等价无穷小有时正确有时错误的原因，下面看看为什么乘除法使用等价无穷小不会出错。

为什么乘除法可以

等价无穷小替换的过程实际可以看作是这样的：
lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x sin ⁡ x = ( lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x sin ⁡ x ) ⋅ 1 = lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x sin ⁡ x ⋅ lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = lim ⁡ x → 0 ( x − sin ⁡ x x sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ x x ) = lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x 2 = ⋯ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}=(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x\sin x})\cdot1=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\\=\lim_{x\rightarrow0}(\frac{x-\sin x}{x\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x})=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin x}{x^2}=\cdots x→0limxsinxx−sinx=(x→0limxsinxx−sinx)⋅1=x→0limxsinxx−sinx⋅x→0limxsinx=x→0lim(xsinxx−sinx⋅xsinx)=x→0limx2x−sinx=⋯
这是一个抵消的过程，原式分母和极限为0的分式的分子约分，完成替换。因此乘除法是不会出错的。