Zernike条纹多项式（Zernike Fringe Polynomails），又称为“University of Arizona”多项式，由James C. Wyant教授提出，它属于Zernike标准多项式的另一种表达，更适用于干涉检测方面的表达。

1. Zemax中的“Zernike条纹多项式系数”

在Opticstudio Zemax光学设计软件中可以通过以下功能：

图1

，查看波前像差的Zernike条纹多项式系数（Zernike Fringe Coeffecients），如下图所示：

图2

，其中：

采样（Sampling）：指定用于计算系数拟合的光瞳网格采样密度。网格尺寸越大越准确，但计算时间会增加。

最大项（Maximum Term）：指定要计算的最大 Zernike 系数。可指定的最高项数为 37 项。

波长（Wavelength）：计算中使用的波长编号。

视场（Field）：计算中使用的视场编号。

参考 OPD 到顶点（Reference OPD To Vertex）：一般情况下， OpticStudio 会参考主光线计算光程差，这实际上减去了波前相位中的倾斜。对于干涉仪，有时需要保留波前倾斜。选中此选项会将倾斜（基于主光线与像面顶点的偏差）加入到光束中。此选项仅适用于其主光线与表面顶点相当接近的视场位置，且前提是通过主光线偏差所描述的倾斜有效。

表面（Surface）：选择要评估的数据所位于的表面。此选项对评估中间像面十分有用。请参阅“ 在中间面上的结果评估” 。

子孔径数据（Subaperture Data）：Sx, Sy, Sr 定义为其计算 Zernike 数据的光瞳子孔径。请参阅“ 子孔径计算” ，以了解详细信息。

2. 功能详述

2.1 基本参数

图2中可显示单独的 Zernike 系数以及峰谷值、 RMS、方差、斯特列尔比、 RMS 拟合残差和最大拟合误差。

在参考平均值时，波前差的 RMS 值 σ 可定义为：

${\sigma}^2 = \bar{W^{2}}-{\bar{W}^{2}$

其中 $W$ 是波前差， $\bar{W^{2}}$ 是均方差， $\bar{W}$ 是平均波前差。 RMS 实际可以使用多种不同的方式来计算：如果忽略平均波前项 $\bar{W}$ ，则 RMS“参考零” 结果，此计算可直接得到 $\bar{W}^{2}$ 的平方根，但很少使用；如果从所有波前相位值中减去平均波前值（绝对相位参考没有物理意义），则 RMS“参考平均值” 。

通常， RMS 将进一步参考可最小化 RMS 的倾斜和偏移的参考球面，这相当于不仅减去平均值（即 piston 项），还减去 x 和 y 平均倾斜。这是有道理的，因为倾斜会使衍射图像质心位置偏移，但不会对像质产生任何影响。为了简便， OpticStudio 将此参考点称为“ 质心” ，但该参考点通常只是接近衍射图像质心位置，而不是完全在此位置上。大多数时候， RMS 被视为参考质心的 RMS 平均值，始终是三个数中（指参考零、参考平均值和参考质心）的最小值。

Zernike RMS 计算所使用的 $W$ 值是通过计算每条光线与参考球面交点的相位测量到的“原始” 光程差值。参考球面以主光线与像面的交点为中心，其半径等于“ 出瞳位置” 长度（参阅“出瞳位置” ）。此方法不考虑参考球面中心位置因慧差改变所造成的细微影响。因此，基于 Zernike 的参考质心的 RMS 波前结果可能与 RMS 分析功能的计算结果略有不同。

2.2 子孔径的“Zernike条纹多项式系数”计算

默认情况下，将为整个光瞳确定 Zernike 多项式。子孔径值 Sx、 Sy 和 Sr 允许仅根据光瞳的圆形子孔径部分计算 Zernike 数据。子孔径是归一化半径为 Sr 的圆形区域，与完整光瞳中心的偏离由归一化坐标 Sx 和 Sy决定。

图3

三个子孔径数据值（ Sx、 Sy 和 Sr）都是相对于完整归一化光瞳单位圆的无量纲参数。通过以下公式可提供全孔径和子孔径归一化光瞳坐标之间的转换：

$P_{x}=S_{x}+S_{r} \times F_{x}$

以及：

$P_{y}=S_{y}+S_{r} \times F_{y}$

，其中 Fx 和 Fy 表示子孔径坐标， Px 和 Py 表示全孔径坐标。

2.3 斯特列尔近似公式

通过以下近似公式使用参考质心的 RMS 来计算斯特列尔比：

$S=e^{-(2\pi \sigma)^2}$

此近似公式对所得斯特列尔比超过 0.10 的单色计算有效。

此功能最多可计算 37 项 Zernike 项。所使用的特定 Zernike 项不是标准正交项，而是光瞳边缘有统一大小的归一化项。去掉了展开式中的某些高阶项降低总项数，被选择保留的剩余项可支持高阶特殊像差的准确拟合。此组特定 Zernike 多项式有时被称为“Fringe” 或“ University of Arizona” 表示法。更正式更通用的多项式集是“标准”表示法，有时被称为“ Born & Wolf” 或类似的“ Noll” 表示法，在文章《Zernike标准多项式系数（Zernike Standard Coeffecients）》中介绍了此表示法。

下表定义了Zernike条纹多项式（Zernike Fringe Polynomails）。角度 φ 是从局部 +x 轴开始按逆时针方向测量的角度。径向坐标是归一化的无量纲参数 ρ：

图4

参考文献：

1. Zemax Opticstudio

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