对姿态角/欧拉角的理解

姿态角（欧拉角）定义（两种表述）：
1.如图1所示，在飞机（载体）上建立本体坐标系XYZ。滚转(Roll)、俯仰(Pitch)和偏航(Yaw)来表示，分别表示飞机绕Y轴、X轴和Z轴旋转。

2.确定一个固定在大地上的静止坐标系xyz，如图2所示，一般x轴朝向载体的目标方向，z轴朝向天空。①俯仰角(Pitch)机体坐标系X轴与水平面的夹角。当X轴的正半轴位于过坐标原点的水平面之上（抬头）时，俯仰角为负，否则为正。②偏航角(Yaw)：机体坐标系X轴在水平面上投影与地面坐标系x轴（在水平面上，指向目标为正）之间的夹角，由x轴拟时针转至机体X的投影线时，偏航角为正，即机头左偏航为正，反之为负。③滚转角(Roll)：机体坐标系Z轴与通过机体X轴的铅垂面间的夹角，机体向右滚为正，反之为负。

姿态角的解释与理解：实际上，第一种表述还应该加上一个条件，那就是：飞机本体系XYZ的初始姿态是与静止坐标系xyz坐标轴方向重合的，变换的顺序要按照Z—Y—X来进行。也就是说只有按照偏航、俯仰、滚转的顺序进行姿态变换才能使其对应的姿态角单独变化，否则其它的也会变化。使用欧拉角动态描述载体的姿态的变化表面上是规定了一个变化过程，实际上这个过程通常并不用发生。通俗的理解就是不用真走这个流程，而仅仅是一种描述方法。而第二种方法则是从本体系与静止坐标系的关系来定义，侧重描述载体在空间中的状态。使用第一种方法的优点是赋予了变换清晰的物理意义，方便记忆和使用。同时也方便变换矩阵的推导。它们的变换矩阵分别是：

$R\left (\phi \right )=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\phi & -\sin \phi\\ 0 & \sin \phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

$R\left ( \theta \right )=\begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ -sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}$

$R\left ( \psi \right )=\begin{bmatrix} \cos\psi & -sin\psi & 0\\ \sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

将欧拉角理解成一个描述载体姿态的方法的时候，我们就可以把上面的三个矩阵，整合成一个矩阵。由于变换是以本体系为旋转轴，因此和变换矩阵是三个分变换矩阵的按顺序右成。

$R\! =\! R\left ( \psi \right )R\left ( \theta \right )R\left ( \phi \right )\! =\! \! \begin{bmatrix} \cos\! \theta \cos\psi & \cos\! \psi \sin\! \phi \sin\! \theta - \cos\! \phi \sin\! \psi & \sin\! \phi \sin\! \psi + \cos\! \phi \cos\! \psi \sin\! \theta\\ \cos\!\theta \sin\!\psi & \cos\!\phi \cos\!\psi + \sin\!\phi \sin\!\theta \sin\!\psi& \cos\!\phi \sin\!\theta \sin\!\psi - \cos\!\psi \sin\!\phi\\ -\sin\theta & \cos\!\theta \sin\!\phi & \cos\!\phi \cos\!\theta \end{bmatrix}$

这个变换矩阵的的物理意义也很明确，如下式

$R=\begin{bmatrix} n_{x} & n_{y} & n_{z} \\ o_{x} & o_{y} & o_{z}\\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \end{bmatrix}$

行向量 $\underset{n}{\rightarrow}$ 、 $\underset{o}{\rightarrow}\$ 和 $\underset{a}{\rightarrow}$ 分别表示本体系X轴、Y轴和Z轴在静止坐标系中的单位方向向量。

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