面试智力题 - 找出12个球中质量不同的小球

面试被问到了这么一道智力题。

现在有12个外观完全相同的12个小球，已知其中一个小球质量和其他的11个不同。用一个天平称3次，找出这个质量不同的小球，并说明它的质量是偏轻还是偏重。

解法

不失一般性，我们对这12个小球进行编号，分别从①号到⑫号。

一、第一步：左边①②③④，右边⑤⑥⑦⑧

其结果有三种，分别是左边重、右边重和一样重。其中左边重和右边重根据对称性是一样的，因此下面只考虑左边重和一样重两种情况。

1 第一次是左边重

我们可以知道：第一，异常的球在①-⑧号中，且如果是①-④号球异常，那么异常的球是偏重的，如果是⑤-⑧号球异常，那么异常的球是偏轻的；第二，⑨-⑫号球的质量是正常的。

那么，在这种情况下，我们下一步进行

二、第二步：左边①⑨⑩⑪，右边②③⑤⑥

为什么要这么称呢？这个问题留到文末解答。大家可以先思考。

其结果同样有三种，分别是左边重、右边重和一样重。下面我们分开讨论这三种情况。

1.1 第二次还是左边重

对比第一步和第二步的结果，由于两次都是左边重，说明异常的球的位置没有发生变化。即，要么是①重了，要么是⑤、⑥其中一个轻了。那么，我们只需要在第三次针对这三个球进行分析即可。

三、第三步：左边⑤，右边⑥

判断到这里，这种情况的结果已经水落石出。如果天平不平衡，说明轻的一侧是异常球，因为我们已知⑤、⑥其中一个偏轻；如果天平平衡，说明①是异常球，且异常球偏重。

1.2 第二次是右边重

同样，对比第一步和第二步的结果，由于两次结果相反，说明异常的球出在位置发生变化，且仍然在天平上的球中。即，要么我们把偏重的异常球从左边拿到了右边，要么我们把偏轻的异常球从右边拿到了左边。但我们在这一步操作中，仅把②③两个球从左边拿到了右边，而没有把右边的球拿到左边。说明异常的球在②、③两个球中，且异常球偏重。

三、第三步：左边②，右边③

重的一侧是异常球。

1.3 第二次是一样重

由于第二次一样重，说明第二次称的时候，左右两侧的球都是正常的，那么异常的球出在第一次在天平上，但第二次不在天平上的球中，即④、⑦、⑧三个球中，且要么是④号球偏重，要么是⑦、⑧其中一个偏轻。与1.1中的第三步同理，

三、第三步：左边⑦，右边⑧

若不平衡，轻的一侧是异常球；否则④是异常球。

第一次不一样重的情况，到这里就分析完了，我们可以找到①-⑧中任意的异常球，且能够判断出偏重或偏轻。

2 第一次是一样重

我们可以知道：第一，异常的球在⑨-⑫号中，但质量情况未知；第二，①-⑧号球的质量是正常的。

二、第二步：左边①⑨⑩，右边②③⑪

2.1 第二次是左边重

说明异常的球在⑨⑩⑪中，并且要么是⑨⑩的其中一个偏重，要么是⑪偏轻。与上面判断最后一步的情况一样，把⑨、⑩分别放在天平两侧，如果天平不平衡，偏重的一侧是异常球；若平衡，⑪是偏轻的异常球。

2.2 第二次是右边重

仍然说明异常的球在⑨⑩⑪中，并且要么是⑨⑩的其中一个偏轻，要么是⑪偏重。同理把⑨、⑩分别放在天平两侧即可找到异常球。

2.3 第二次是一样重

说明异常的球是⑫，但是不知道它是偏轻还是偏重。那么最后把⑫和其他任何一个球称一下，即可判断出它是偏轻还是偏重。

到这里，我们已经可以查到异常的球，并且说明它是偏轻还是偏重。回到中间提到的问题，第二步这么称是关键（当然还有其他称法，但是思路是一样的）。首先明确，天平只能给出三种结果——左边重、右边重和一样重。

我们从最后一步出发去考虑，发现上面很多种情况，最后一步都在做同样的事——给出三个球，知道其异常的可能，那么只需要把可能异常相同的两个放在称上比较，即可判断出三个球中的异常。（例如，如果三个球都偏重，那么随便拿两个称一次，重的就是异常的，一样重就说明没称的是异常的）所以，我们在第二步中，需要利用第一步称的结果，把球重新打乱称，目标是经过这一步称，能把8个球进一步分为(3, 3, 2)三组，分别对应着天平能出现的三种结果。也就是说，我们的目标是第二步：对应天平每一种情况，能锁定异常球在某3个或某2个中，并且这些球可能出现的异常已知。

所以，回到上述第二步的称法，我们把两个偏重的球②③从左边拿到右边，对应天平变为右边重的情况（若第二步右边重，就知道是②③异常）；然后拿下来了④⑦⑧，对应天平变为一样重的情况（若第二步一样重，就知道是④⑦⑧异常）；最后保留不动的是①⑤⑥，对应天平不变的情况（若第二步还是左边重，那说明是①⑤⑥异常）。

以及。。面试智力题虽然烧脑子，但是确实非常有意思啊~

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