在上一篇（What are Triangulation, Trilateration, and Multilateration?）中介绍为Triangulation，这一篇我们来简单介绍一下Trilateration。

1. What is Trilateration

Trilateration中文译为三边测量，这一技术通过测量待测对象与多个参考点之间的距离，然后基于圆相交法以及三个参考点的坐标位置确定待测点的坐标位置。

根据待测对象与某个参考点之间距离，可知待测对象必然在以该参考点为圆心、距离为半径的园上；（加入第二个参考点与待测对象之间的距离的信息，可以得到）两个圆相交可以得到两个点；进一步由（基于第二个参考点与待测对象之间的距离所得的）第三个园的约束可以确定待测在二维平面上的坐标位置，如下图所示：

图 1 2D-Trilateration示意图

测量距离的方法通常有RSSI、ToF（飞行时间）或者ToA（到达时间，本质上是属于ToF方法的一种衍生方法）等。UWB测距即是基于ToA的方法。

以上2D-Trilateration方法可以推广到3D空间定位。在3D情况下，圆变成了球，由4个球相交可以确定三维空间中的一个点（这就是为什么在GPS定位中我们需要能“看见”最少4棵GPS卫星）。

2. Least Square for Trilateration

2D-Trilateration的数学推导如下：

图2 Least Square for Trilateration

虽然这里涉及到了矩阵求逆的运算，但是这个可能并不是什么大问题。一方面，由于anchor是固定位置的，所以(A.T*A)^(-1)是有可能预计算好；另一方面，通常这里所涉及的矩阵的维数也不会很大。

进一步，如果各Anchor与Tag的距离不同可能导致测量精度（所含的测量噪声）不同，可以考虑给每个距离测量值附加上权重信息，这样就可以得到加权最小二乘（WLS：Weighted Least Square）估计方案。

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What are Triangulation, Trilateration, and Multilateration?
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Trilateration and Least Square estimation

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