卡特兰数（卡塔兰数）

另附图一张：

来源：百度百科

典例： hdu 2067

小兔的棋盘

Problem Description

小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

Input

每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。

Output

对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

Sample Input

1
3
12
-1

Sample Output

1 1 2
2 3 10
3 12 416024

题解：这规律也太忒么难找了⑧（只怪智商太低了），而且后面几个容易找到的递推公式又溢出越界了，只有第一个递推公式才不会WA。。。。。。
于是代码如下（其中最终答案需乘2）：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{ll h[40];memset(h,0,sizeof(h));h[0]=1;h[1]=1;for(int i=2;i<=35;i++){for(int j=0;j<=i-1;j++){h[i]+=h[j]*h[i-1-j];}}int t=0;int n;while(~scanf("%d",&n)){t++;if(n==-1)break;printf("%d %d %lld\n",t,n,h[n]*2);}return 0;
}

卡特兰数的应用（实际上都是递推等式的应用）：

1、矩阵连乘：
P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？ (h(n)种)

2、出栈次序
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?（h(n)种）

3、凸多边形三角划分
在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。
f(n)=h(n-2)

4、给定节点组成二叉搜索树
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？（能构成h（N）个）