Soft Thresholding 求解优化问题例子

软阈值(SoftThresholding)可以求解如下优化问题：

arg min⁡x∣∣x−B∣∣22+λ∣∣x∣∣1\argmin_x ||x-B||^2_2 + \lambda ||x||_1 xargmin∣∣x−B∣∣22+λ∣∣x∣∣1

的解为：

soft(B,λ/2)={B+λ/2,B<−λ/20,∣B∣<λ/2B−λ/2,B>λ/2soft(B,\lambda / 2)=\left\{ \begin{aligned} B+\lambda /2 &,& B &< -\lambda /2 \\ 0 &,& |B| &< \lambda /2 \\ B-\lambda /2&,& B &> \lambda /2 \end{aligned} \right. soft(B,λ/2)=⎩⎪⎨⎪⎧B+λ/20B−λ/2,,,B∣B∣B<−λ/2<λ/2>λ/2

具体参考证明

例子：

来源于文章Newton, M.A., Polson, N.G. and Xu, J. (2020), Weighted Bayesian bootstrap for scalable posterior distributions. Can J Statistics. https://doi.org/10.1002/cjs.11570

θw∗=arg min⁡θ∈Θ{w12(y−θ)2+λw0∣θ∣}\theta_w^* = \argmin_{\theta \in \Theta}\{\frac{w_1}{2}(y-\theta)^2+\lambda w_0 |\theta| \} θw∗=θ∈Θargmin{2w1(y−θ)2+λw0∣θ∣}

利用soft thresholding解得：

θw∗={y−λw0/w1,ify>λw0/w1y+λw0/w1,ify<−λw0/w10,if∣y∣⩽λw0/w1\theta^*_w=\left\{ \begin{aligned} y - \lambda w_0 / w_1 &,& &if \ \ y > \lambda w_0 / w_1 \\ y + \lambda w_0 / w_1 &,& &if \ \ y < - \lambda w_0 / w_1 \\ 0&,& &if \ \ |y| \leqslant \lambda w_0 / w_1 \end{aligned} \right. θw∗=⎩⎪⎨⎪⎧y−λw0/w1y+λw0/w10,,,if y>λw0/w1if y<−λw0/w1if ∣y∣⩽λw0/w1

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