文章目录

二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律
- 边际分布
- 条件分布

二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律

边际分布

对于离散型随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y)，分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,⋯P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}，i,j=1,2,\cdotsP(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,⋯

X,YX,YX,Y 的边际分布律为：

P(X=xj)=P(X=xi,⋃j=1∞(Y=yj))=∑j=1∞pij=记为pi⋅P(X=x_j)=P(X=x_i,\bigcup_{j=1}^{\infty}(Y=y_j))=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\overset{\text{记为}}{=}p_{i·} P(X=xj)=P(X=xi,j=1⋃∞(Y=yj))=j=1∑∞pij=记为pi⋅

同理，

P(Y=yj)=P(⋃i=1∞(X=xj),Y=yj)=∑i=1∞pij=记为p⋅jP(Y=y_j)=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(X=x_j),Y=y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}\overset{\text{记为}}{=}p_{·j} P(Y=yj)=P(i=1⋃∞(X=xj),Y=yj)=i=1∑∞pij=记为p⋅j

注意： 记号 pi⋅p_{i·}pi⋅ 表示是由 pijp_{ij}pij 关于 jjj 求和后得到的；

\quad\quad\,\,\, 同样 p⋅jp_{·j}p⋅j 是由 pijp_{ij}pij 关于 iii 求和后得到的；

XYy1y2⋯yj⋯P(X=xi)x1p11p12⋯p1j⋯p1⋅x2p21p22⋯p2j⋯p2⋅⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋮xipi1pi2⋯pij⋯pi⋅⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋮P(Y=j)p⋅1p⋅2⋯p⋅j⋯1\begin{array}{c|ccccc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & y_1 & y_2 & \cdots & y_j & \cdots & P(X=x_i) \\ \hline x_1 & p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1j} & \cdots & p_{1·} \\ x_2 & p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2j} & \cdots & p_{2·} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ x_i & p_{i1} & p_{i2} & \cdots & p_{ij} & \cdots & p_{i·} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ \hline P(Y=j) & p_{·1} & p_{·2} & \cdots & p_{·j} & \cdots & 1 \end{array} XYx1x2⋮xi⋮P(Y=j)y1p11p21⋯pi1⋯p⋅1y2p12p22⋯pi2⋯p⋅2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯yjp1jp2j⋯pij⋯p⋅j⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯P(X=xi)p1⋅p2⋅⋮pi⋅⋮1

例 1： 盒中装有 3 只红球，2 只白球，现分两从中任取 1 球，以 X、YX、YX、Y 分别表示第 1、2 次取到的红球数。采用不放回与放回抽样分别求：X,YX,YX,Y的联合分布律及边际分布律。

解：

X={0,第1次取到白球1,第1次取到红球，Y={0,第2次取到白球1,第2次取到红球X=\begin{cases} 0, & 第 1 次取到白球 \\ 1, & 第 1 次取到红球， \end{cases} Y=\begin{cases} 0, & 第 2 次取到白球 \\ 1, & 第 2 次取到红球 \end{cases} X={0,1,第1次取到白球第1次取到红球，Y={0,1,第2次取到白球第2次取到红球

先计算不放回抽样：

XY01pi⋅025⋅1425⋅3425135⋅2435⋅2435p⋅j2535\begin{array}{c|cc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & p_{i·} \\ \hline 0 & \cfrac{2}{5}·\cfrac{1}{4} & \cfrac{2}{5}·\cfrac{3}{4} & \cfrac{2}{5} \\ \\ 1 & \cfrac{3}{5}·\cfrac{2}{4} & \cfrac{3}{5}·\cfrac{2}{4} & \cfrac{3}{5} \\ \\ \hline p_{·j} & \cfrac{2}{5} & \cfrac{3}{5} & \end{array} XY01p⋅j052⋅4153⋅4252152⋅4353⋅4253pi⋅5253

再计算放回抽样：

XY01pi⋅025⋅2525⋅3525135⋅2535⋅3535p⋅j2535\begin{array}{c|cc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & p_{i·} \\ \hline 0 & \cfrac{2}{5}·\cfrac{2}{5} & \cfrac{2}{5}·\cfrac{3}{5} & \cfrac{2}{5} \\ \\ 1 & \cfrac{3}{5}·\cfrac{2}{5} & \cfrac{3}{5}·\cfrac{3}{5} & \cfrac{3}{5} \\ \\ \hline p_{·j} & \cfrac{2}{5} & \cfrac{3}{5} & \end{array} XY01p⋅j052⋅5253⋅5252152⋅5353⋅5353pi⋅5253

上面两表中，联合分布律不同，但它们的边际分布律相同；这说明，仅由边际分布一般不能得到联合分布。

例 2： 设一群体 80％的人不吸烟， 15％的人量吸烟，5％的人吸烟较多，且已知近期他们患呼吸道疾病的概率分别为 5％，25％，70％。记

X={0,不吸烟1,少量吸烟2,吸烟较多，Y={1,患病0,不患病X=\begin{cases} 0, & \text{不吸烟} \\ 1, & \text{少量吸烟} \\ 2, & \text{吸烟较多} \end{cases}， Y=\begin{cases} 1, & \text{患病} \\ 0, & \text{不患病} \end{cases} X=⎩⎪⎨⎪⎧0,1,2,不吸烟少量吸烟吸烟较多，Y={1,0,患病不患病

求：（1） (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的联合分布和边际分布
\quad\,\,\,\,（2）求患者人中是吸烟者的概率。

解：（1）由题意可得：

X012P0.80.150.05\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0.8 & 0.15 & 0.05 \end{array} XP00.810.1520.05

P{Y=1∣X=0}=0.05，P{Y=1∣X=1}=0.25，P{Y=1∣X=2}=0.70P\{Y=1|X=0\}=0.05，P\{Y=1|X=1\}=0.25，P\{Y=1|X=2\}=0.70P{Y=1∣X=0}=0.05，P{Y=1∣X=1}=0.25，P{Y=1∣X=2}=0.70，

由乘法公式：P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j∣X=i}P\{X=i,Y=j\}=P\{X=i\}P\{Y=j|X=i\}P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j∣X=i}

XY01P(X=i)00.760.040.8010.11250.03750.1520.0150.0350.05P(Y=j)0.88750.11251\begin{array}{c|cc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & P(X=i) \\ \hline 0 & 0.76 & 0.04 & 0.80 \\ 1 & 0.1125 & 0.0375 & 0.15 \\ 2 & 0.015 & 0.035 & 0.05 \\ \hline P(Y=j) & 0.8875 & 0.1125 & 1 \end{array} XY012P(Y=j)00.760.11250.0150.887510.040.03750.0350.1125P(X=i)0.800.150.051

解：（2）

P(患病人中是吸烟者)=P{(X=1)⋃(X=2)∣Y=1}=不相容 P{X=1∣Y=1}+P{X=2∣Y=1}=P{X=1,Y=1}P{Y=1}+P{X=2,Y=1}P{Y=1}=0.0375+0.0350.1125=0.6444\begin{aligned} & P(患病人中是吸烟者) \\ & = P\{(X=1)\bigcup(X=2)|Y=1\} \\ &\overset{\text{不相容 }}{=} P\{X=1|Y=1\} + P\{X=2|Y=1\} \\ \\ &= \cfrac{P\{X=1,Y=1\}}{P\{Y=1\}} + \cfrac{P\{X=2,Y=1\}}{P\{Y=1\}} \\ &= \cfrac{0.0375 + 0.035}{0.1125} = 0.6444 \end{aligned} P(患病人中是吸烟者)=P{(X=1)⋃(X=2)∣Y=1}=不相容 P{X=1∣Y=1}+P{X=2∣Y=1}=P{Y=1}P{X=1,Y=1}+P{Y=1}P{X=2,Y=1}=0.11250.0375+0.035=0.6444

条件分布

对于两个事件 A,BA,BA,B ，若 P(A)>0P(A)>0P(A)>0 ，可以考虑条件概率 P(B∣A)P(B|A)P(B∣A)，对于二元离散型随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y)，设其分布律为：
P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,⋯P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\quad i,j=1,2,\cdotsP(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,⋯

若 P(Y=yj)=p⋅j>0P(Y=y_j)=p_{·j}>0P(Y=yj)=p⋅j>0，考虑条件概率 P(X=xi∣Y=yj)P(X=x_i|Y=y_j)P(X=xi∣Y=yj)

由条件概率公式可得：

P(X=xi∣Y=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijp⋅jP(X=x_i|Y=y_j) = \cfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\cfrac{p_{ij}}{p_{·j}} P(X=xi∣Y=yj)=P(Y=yj)P(X=xi,Y=yj)=p⋅jpij

当 XXX 取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。

定义： 设 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 是二元离散型随机变量，对于固定的 yjy_jyj，若 P(Y=yj)>0P(Y=y_j)>0P(Y=yj)>0，则称：

P(X=xi∣Y=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijp⋅ji=1,2,⋯P(X=x_i|Y=y_j)=\cfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\cfrac{p_{ij}}{p_{·j}} \quad i=1,2,\cdots P(X=xi∣Y=yj)=P(Y=yj)P(X=xi,Y=yj)=p⋅jpiji=1,2,⋯

为在 Y=yjY=y_jY=yj 条件下，随机变量 XXX 的条件分布律；

同样，对于固定的 xix_ixi，若 P(X=xi)>0P(X=x_i)>0P(X=xi)>0，则称：

P(Y=yj∣X=xi)=P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijpi⋅j=1,2,⋯P(Y=y_j|X=x_i)=\cfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}=\cfrac{p_{ij}}{p_{i·}} \quad j=1,2,\cdots P(Y=yj∣X=xi)=P(X=xi)P(X=xi,Y=yj)=pi⋅pijj=1,2,⋯

为在 X=xiX=x_iX=xi 条件下，随机变量 YYY 的条件分布律。

例 3： 盒中装有 3 只红球， 4 只黑球， 3 只球，在其中不放回取 2 球，以 XXX 表示取到红球的只数, YYY 表示取到黑球的只数。求（1）X,YX,YX,Y 的联合分布律；（2）X=1X=1X=1 时 YYY 的条件分布律.

解：（1） X,YX,YX,Y 的取值均为 0，1，2

P(X=0,Y=0)=C30C40C32C102P(X=0,Y=0)=\cfrac{C_{3}^{0}\,C_{4}^{0}\,C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}P(X=0,Y=0)=C102C30C40C32

P(X=i,Y=j)=C3iC4jC32−i−jC102i,j=0,1,2,i+j≤2.P(X=i,Y=j)=\cfrac{C_{3}^{i}\,C_{4}^{j}\,C_{3}^{2-i-j}}{C_{10}^{2}}\quad i,j=0,1,2,i+j\leq2.P(X=i,Y=j)=C102C3iC4jC32−i−ji,j=0,1,2,i+j≤2.

X,YX,YX,Y 的分布律为：

XY01201/154/152/1513/154/15021/1500\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/15 & 4/15 & 2/15 \\ 1 & 3/15 & 4/15 & 0 \\ 2 & 1/15 & 0 & 0 \end{array} XY01201/153/151/1514/154/15022/1500

（2）由（1）可知，由于 P(X=1)=7/15P(X=1)=7/15P(X=1)=7/15

故在 X=1X=1X=1 的条件下， YYY 的分布律为：

P(Y=0∣X=1)=P(X=1,Y=0)P(X=1)=37P(Y=0|X=1)=\cfrac{P(X=1,Y=0)}{P(X=1)}=\cfrac{3}{7}P(Y=0∣X=1)=P(X=1)P(X=1,Y=0)=73，

P(Y=1∣X=1)=47P(Y=1|X=1)=\cfrac{4}{7}P(Y=1∣X=1)=74，

P(Y=2∣X=1)=0.P(Y=2|X=1)=0.P(Y=2∣X=1)=0.

Y012P(Y=j∣X=1)3/74/70\begin{array}{c|ccc} Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(Y=j|X=1) & 3/7 & 4/7 & 0 \end{array} YP(Y=j∣X=1)03/714/720

例 4： (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的联合分布律为：

XY−1011a0.20.220.10.1b\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & -1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & a & 0.2 & 0.2 \\ 2 & 0.1 & 0.1 & b \\ \end{array} XY12−1a0.100.20.110.2b

已知，P(Y≤0∣X<2)=0.5P(Y\leq 0 | X < 2)=0.5P(Y≤0∣X<2)=0.5

求：
（1） a,ba,ba,b 的值；
（2） {X=2}\{X=2\}{X=2} 条件下 YYY 的条件分布律；
（3） {X+y=2}\{X+y=2\}{X+y=2} 条件下 XXX 的条件分布律；

解：考虑包含 a,ba, ba,b 的方程

{a+b+0.6=1P(Y≤0∣X<2)=0.5\begin{cases} a+b+0.6 = 1 \\ P(Y\leq 0 | X < 2)=0.5 \end{cases} {a+b+0.6=1P(Y≤0∣X<2)=0.5

0.5=P(Y≤0∣X<2)P(X<2)=P(X=1,{Y=−1}⋃{Y=0})P(X=1)=P(X=1,Y=−1)+P(X=1,Y=0)P(X=1)=a+0.2a+0.4⟹a=0,b=0.4\begin{aligned} 0.5 &= \cfrac{P(Y\leq 0|X<2)}{P(X<2)} = \cfrac{P(X=1,\{Y=-1\}\bigcup \{Y=0\})}{P(X=1)} \\ &= \cfrac{P(X=1,Y=-1)+P(X=1,Y=0)}{P(X=1)} \\ &= \cfrac{a+0.2}{a+0.4} \\ \\ &\implies a=0, \quad b=0.4 \end{aligned} 0.5=P(X<2)P(Y≤0∣X<2)=P(X=1)P(X=1,{Y=−1}⋃{Y=0})=P(X=1)P(X=1,Y=−1)+P(X=1,Y=0)=a+0.4a+0.2⟹a=0,b=0.4

解：（2） P(X=2)=0.1+0.1+b=0.6P(X=2)=0.1+0.1+b=0.6P(X=2)=0.1+0.1+b=0.6

XY−101100.20.220.10.10.4\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & -1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0.2 & 0.2 \\ 2 & 0.1 & 0.1 & 0.4 \\ \end{array} XY12−100.100.20.110.20.4

⟹P(Yj∣X=2)=P(X=2,Y=j)P(X=2)={1/6,j=−11/6,j=02/3,j=1\implies P(Y_j|X=2)=\cfrac{P(X=2,Y=j)}{P(X=2)}= \begin{cases} 1/6, & j=-1 \\ 1/6, & j=0 \\ 2/3, & j=1 \end{cases} ⟹P(Yj∣X=2)=P(X=2)P(X=2,Y=j)=⎩⎪⎨⎪⎧1/6,1/6,2/3,j=−1j=0j=1

所以，{X=2}\{X=2\}{X=2} 条件下 YYY 的条件分布律为：

Y−101P(Y=j∣X=2)161623\begin{array}{c|ccc} Y & -1 & 0 & 1 \\ \hline P(Y=j|X=2) & \cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{6} & \cfrac{2}{3} \end{array} YP(Y=j∣X=2)−161061132

解：（3） P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=0.2+0.1=0.3P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=0.2+0.1=0.3P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=0.2+0.1=0.3

XY−101100.20.220.10.10.4\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & -1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0.2 & 0.2 \\ 2 & 0.1 & 0.1 & 0.4 \\ \end{array} XY12−100.100.20.110.20.4

P(X=i∣X+Y=2)=P(X=i,Y=2−i)P(X+Y=2)={2/3,i=11/3,i=2P(X=i|X+Y=2)=\cfrac{P(X=i,Y=2-i)}{P(X+Y=2)}= \begin{cases} 2/3, & i = 1 \\ 1/3, & i = 2 \end{cases} P(X=i∣X+Y=2)=P(X+Y=2)P(X=i,Y=2−i)={2/3,1/3,i=1i=2

{X+Y=2}\{X+Y=2\}{X+Y=2} 条件下 XXX 的条件分布律为：

X12P(X=i∣X+Y=2)2313\begin{array}{c|cc} X & 1 & 2 \\ \hline P(X=i|X+Y=2) & \cfrac{2}{3} & \cfrac{1}{3} \end{array} XP(X=i∣X+Y=2)132231

17. 二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律相关推荐

【概率论】二维随机变量：联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系
摘要:本文主要介绍二维随机变量的联合分布律.边缘分布律和条件分布律之间的关系,并以矿山事故为例,强化对三者关系的认识. 一.联合分布律.边缘分布律和条件分布律之间的关系 1.若已知(X, Y)的联合分 ...
16. 二元随机变量，离散型随机变量分布律
文章目录二元随机变量,离散型随机变量分布律二元随机变量二元离散型随机变量 (一)离散型随机变量的联合概率分布律联合分布律的性质二元随机变量,离散型随机变量分布律二元随机变量定义: 设 E ...
18. 二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
文章目录二元随机变量分布函数.边际分布函数及条件分布函数联合分布函数分布函数 F(x,y)F(x, y)F(x,y) 的性质边际分布函数条件分布函数二元随机变量分布函数.边际分布函数及条件 ...
离散型随机变量及其分布律(知识点部分)
1. 离散型随机变量 1.离散型随机变量 1.离散型随机变量把全部可能取到的值是有限个或可列无限个的随机变量称为离散型随机变量. 2. 离散型随机变量的分布律 2.离 ...
离散型随机变量及其分布
一.离散型随机变量 1.1.定义: 若随机变量X的取值为有限个或可数离散, 则称X为离散型随机变量. 1.2.分布律二.分布 2.1.(0-1)分布 / 两点分布 / 贝努利分布 2.1.1.0- ...
应用概率统计-第二章离散型随机变量
目录一.随机变量 1.随机变量的定义 2.随机变量的分类二.离散型随机变量的概率分布 1.分布律 2.分布函数三.二项分布 1.伯努利概型 2.二项分布 3.两点分布四.泊松分布五.超几何分 ...
离散型随机变量及其分布律2
(熟记理解背诵,不管到多少岁!!!都要脱口而出!!!!) 目录一.三种重要的离散型随机变量 (一)(0-1)分布/两点分布 (二)伯努利试验/二项分布 (三)泊松分布一.三种重要的离散型随机变量 ...
随机变量，离散型随机变量的分布律
什么是随机变量? 设随机试验的样本空间为 S={e}S = \{e\}S={e} ,X=X(e)X = X_{(e)}X=X(e)是定义在样本空间SSS上的实值单值函数,称X=X(e)X = X{( ...
PT@多维随机变量@联合分布函数@联合分布律@边缘分布律@二维离散型随机变量和分布律
文章目录 PT@多维随机变量@联合分布函数@联合分布律@边缘分布律@二维离散型随机变量和分布律多维随机变量

17. 二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律

文章目录

二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律

边际分布

条件分布

17. 二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律相关推荐

最新文章

热门文章