数据结构算法与应用关于二叉树在信号放大器放置的应用

二叉树应用

信号放大器

定义：

DegereeFromParent( i )：节点 i 的父辈到节点i的衰减量
DegereeToLeaf( i ): 如果路径上没有信号放大器：节点 i 到它的最年轻后辈的衰减量的累计如果路径上有信号放大器：max{有放大器路径的DegreeFromParent(j)，没放大器路径的DegreeFromParent(j)+DegreeToLeaf(j)}
放大器：在某一节点 i 放置放大器后，清空该节点的前边的衰减累计（但是到达 i 节点的衰减累计不变，i 节点信号源是被放大的，即是保真的）

最小放置方法：

计算每一个节点的DegreeToLeaf(i)

从最底层的节点开始考虑

如果没有超过容忍度的则往上一层走
当到某一层，遇到了 i 节点：DegreeToLeaf(i)>Tolerate是左孩子(j1)路,还是右孩子(j2)路出问题：DegreeToLeaf(j)+DegreeFromParent(j)>Tolerate对出问题的路将该孩子节点处放信号放大器更新 i 节点的DegreeToLeaf(i)=max{(DegreeToLeaf( j' )+DegreeFromParent( j' ) ),DegreeFromParent( j ) }

为什么在那个地方放信号放大器？

证明：由于是从最底层开始考虑的，那么在考虑到 i 节点的时候，i节点下面的子树的DegreeToLeaf(j)肯定不超过容忍度，出问题的原因在于DegreeFromParent(j)+DegreeToLeaf(j)的和大了。那么为了解决以i为根的生成树的容忍度问题，只能从j处放信号放大器原因：显然，在i处或i的父辈放信号放大器没用，因为DegreeToLeaf(i)只和下层有关；在j的孩子放信号放大器也不行，因为底层已经考虑过，是不会超容忍度的。则只能在j放放大器。

怎么在放了放大器之后更新DegreeToLeaf( i )？

答：DegreeToLeaf(i)=max{(DegreeToLeaf( j' )+DegreeFromParent( j' ) ),DegreeFromParent( j ) }看着很复杂，其实很简单考虑完某一个孩子路之后，在该孩子处如果放置了信号放大器，则比较(该孩子，父辈)线段衰减量与另一条路的衰减量累计的大小，取较大值原因：另一条路的大小作为候选值不再解释放置信号放大器那一条路，现在考虑从i节点的父辈向叶子流，流到信号放大器节点的累积量是才有用的，继续往下的话是已经重新计数了，没有意义。所以考虑的时候只需要计算（该孩子，父辈）的线段衰减量作为候选值。

为什么这样放信号放大器个数是最少的？

首先说明，这种算法放信号放大器是个数最少的，但是并不是说对于这棵树只能通过这种放法来解决，即可能不止有一种最优解，但是这些最优解的放置信号放大器的个数是相等的。下面对该算法进行证明。
假设序列{X}代表本算法放置放大器的集合，序列{W}代表最优解放置放大器的集合
当放置个数为0时，显然是相等的，下面考虑一般情况
令，节点z为本算法第一个放置放大器的节点位置，则按照本算法的放置要求，必然是DegreeToLeaf(z)+DegreeFromParent(z)超过了容忍度。那么在最优解中，这条路径上也必然要放信号放大器，并且有且仅有一个设为u节点（因为本算法已经是只放了1个，已经可以满足题意了）
现在保留节点z，减去以z为根的子树，生成了一个新树T
对于T，本算法放置放大器集合为：{X}-{z}
对于T，最优解算法放置放大器集合为：{W}-{u}
不断重复上述过程，直到生成树中不再需要放放大器。
发现，对于两种算法，结果树是一样的，每一次删除子树，放大器集合的个数都同时减1，则原序列{X}和{Y}的元素个数是相等的
即，本算法可以保证数量放置最少，即为最优解。