【BZOJ3529】数表，莫比乌斯反演+BIT

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思路：
复习一下莫比乌斯反演
好像是数论入门题，然后我做了近一天……
式子是这么化没错
n≤mn≤m

∑i=1n∑j=1m[σ(gcd(i,j))≤a]σ(gcd(i,j))

\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}[\sigma(gcd(i,j))≤a]\sigma(gcd(i,j))

=∑i=1n∑j=1m∑d=1n[gcd(i,j)=d][σ(d)≤a]σ(d)

=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\sum^n_{d=1}[gcd(i,j)=d][\sigma(d)≤a]\sigma(d)
i=di,j=dji=di,j=dj

=∑d=1n[σ(d)≤a]σ(d)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋[gcd(i,j)=1]

=\sum^n_{d=1}[\sigma(d)≤a]\sigma(d)\sum^{\lfloor \frac n d\rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor\frac m d\rfloor}_{j=1}[gcd(i,j)=1]

=∑d=1n[σ(d)≤a]σ(d)∑k=1⌊nd⌋μ(k)⌊nkd⌋⌊mkd⌋

=\sum^{n}_{d=1}[\sigma(d)≤a]\sigma(d)\sum^{\lfloor \frac n d\rfloor}_{k=1}\mu(k)\lfloor \frac n {kd}\rfloor\lfloor \frac m {kd}\rfloor
一开始我化到这里就停下开始求解了
写了一发离线+BIT交上去发现比暴力多跑了一个点(?)
分析了一下复杂度好像是 O(Tn)O(Tn)
被reflash婊了一通
悲伤过后重新来搞，在reflash的提(jiao)示(yu)下化成了下面这样
P=kdP=kd

=∑d=1n[σ(d)≤a]σ(d)∑P=1n[d|P]μ(Pd)⌊nP⌋⌊mP⌋

=\sum^n_{d=1}[\sigma(d)≤a]\sigma(d)\sum^n_{P=1}[d|P]\mu(\frac P d)\lfloor \frac n P\rfloor\lfloor \frac m P\rfloor

=∑P=1n⌊nP⌋⌊mP⌋∑d=1P[d|P][σ(d)≤a]σ(d)μ(Pd)

=\sum^n_{P=1}\lfloor \frac n P\rfloor\lfloor \frac m P\rfloor\sum^P_{d=1}[d|P][\sigma(d)≤a]\sigma(d)\mu(\frac P d)
设 F(n)=∑ni=1[i|n][σ(i)≤a]σ(i)μ(ni)F(n)=\sum^n_{i=1}[i|n][\sigma(i)≤a]\sigma(i)\mu(\frac n i)

=∑P=1n⌊nP⌋⌊mP⌋F(P)

=\sum^n_{P=1}\lfloor \frac n P\rfloor\lfloor \frac m P\rfloor F(P)
用BIT维护 FF的前缀和，然后处理每个询问的时候O(n√)O(\sqrt n)前缀和搞就可以了
一开始把所有的 σ(i)μ(ni)\sigma(i)\mu(\frac n i)保存下来，大约有 10610^6个，按照 σ(i)\sigma(i)排序
在BZ上跑了10s……rank倒数第5
又被reflash婊了一通
悲伤过后重新来搞，在reflash的提(jiao)示(yu)下开始现求 μ\mu里的东西（就是枚举d的倍数……）
然后跑了7s……
其实还可以线筛 σ\sigma，因为这是个积性函数（要记录最小质因子的若干次方）
改完以后终于跑到了4s左右……
不过还是很慢
复杂度 O(nlog2n+Tn√logn)O(n\log^2n+T\sqrt n\log n)
写一下这篇博客，记住自己菜到家的数论知识，顺便%%%reflash

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define mo 2147483647
#define N 100000
using namespace std;
int cnt,prime[N+5],mu[N+5],t[N+5];
LL d[N+5],ans[N+5];
typedef pair<int,int>xy;
xy sigma[N+5];
bool vis[N+5];
struct node{int id,n,m,A;bool operator <(const node other)const{return A<other.A;}
}q[20005];
void add(int x,int val)
{for (;x<=N;x+=x&-x) d[x]+=val;
}
LL get(int x)
{LL t=0;for (;x;x-=x&-x) t+=d[x];return t;
}
main()
{mu[1]=1;sigma[1]=make_pair(1,1);t[1]=1;for (int i=2;i<=N;++i){if (!vis[i])prime[++prime[0]]=i,t[i]=i,sigma[i]=make_pair(i+1,i),mu[i]=-1;for (int j=1;j<=prime[0];++j){if (prime[j]*i>N) break;vis[prime[j]*i]=1;if (i%prime[j])t[i*prime[j]]=prime[j],sigma[i*prime[j]]=make_pair(sigma[prime[j]].first*sigma[i].first,i*prime[j]),mu[i*prime[j]]=-mu[i];else{t[i*prime[j]]=t[i]*prime[j];sigma[i*prime[j]]=make_pair(sigma[i].first+sigma[i/t[i]].first*t[i]*prime[j],i*prime[j]);mu[i*prime[j]]=0;break;}}}sort(sigma+1,sigma+N+1);int T;scanf("%d",&T);for (int i=1;i<=T;++i){scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].A);if (q[i].n>q[i].m) swap(q[i].n,q[i].m);q[i].id=i;}sort(q+1,q+T+1);int n,m,last=1;for (int i=1;i<=T;++i){n=q[i].n;m=q[i].m;for (;last<=N;++last)if (sigma[last].first<=q[i].A){int fi=sigma[last].first,se=sigma[last].second;for (int j=1;se*j<=N;++j)add(j*se,fi*mu[j]);}elsebreak;for (int last,j=1;j<=n;j=last+1)last=min(n/(n/j),m/(m/j)),ans[q[i].id]+=1LL*(n/j)*(m/j)*(get(last)-get(j-1));}for (int i=1;i<=T;++i) printf("%d\n",ans[i]&mo);
}

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