【声传播】——球面波的反射

概述

本文整理了球面波的反射问题，核心思路使用角谱法将球面波展开成平面波，利用已知的平面波反射系数，合成反射的球面波。
本文在后面讨论了反射系数与入射角无关的情况下球面反射波的形式以及远程条件下的球面反射波形式。

角谱法展开球面波

利用二维傅里叶变换对，可以将球面波展开成平面波的组合，即角谱法。
注：这里用ejkRR\frac{e^{jkR}}{R}RejkR的形式来表示球面波，因为水声里一般用ej(kx−wt)e^{j(kx-wt)}ej(kx−wt)来表示平面波。
ejkRR=∬A(kx,ky)ej(kxx+kyy+kzz)dkxdky\frac{e^{jkR}}{R}=\iint A(k_x,k_y)e^{j(k_xx+k_yy+k_zz)}{ \rm dk_x d k_y}RejkR=∬A(kx,ky)ej(kxx+kyy+kzz)dkxdky
为了求A(kx,ky)A(k_x,k_y)A(kx,ky)，取z=0z=0z=0平面，此时R=r=x2+y2R=r=\sqrt{x^2+y^2}R=r=x2+y2，则可将上式化简得到：
ejkrr=∬A(kx,ky)ej(kxx+kyy)dkxdky\frac{e^{jkr}}{r}=\iint A(k_x,k_y)e^{j(k_xx+k_yy)}{ \rm dk_x d k_y}rejkr=∬A(kx,ky)ej(kxx+kyy)dkxdky
则A(kx,ky)A(k_x,k_y)A(kx,ky)可以表示为：
(2π)2A(kx,ky)=∬ejkrre−j(kxx+kyy)dxdy(2\pi)^2A(k_x,k_y)=\iint \frac{e^{jkr}}{r}e^{-j(k_xx+k_yy)}{ \rm dx dy}(2π)2A(kx,ky)=∬rejkre−j(kxx+kyy)dxdy
利用坐标变换式，将直角坐标变换成极坐标形式，波矢域与空间域都变成极坐标形式，积分变量在替换时需要乘上一个雅克比行列式，下图是转换关系：

这么变换的目的就是把上式右边的积分给算出来
(2π)2A(kx,ky)=∫02πdφ∫0∞ejr[k−ξcos(ψ−φ)]dr(2\pi)^2A(k_x,k_y)=\int_0^{2\pi} {\rm d\varphi} \int_0^\infty e^{jr[k-\xi cos(\psi-\varphi)]}{\rm d r}(2π)2A(kx,ky)=∫02πdφ∫0∞ejr[k−ξcos(ψ−φ)]dr
先对rrr积分，再对φ\varphiφ做积分，通过查积分表，可以得到结果：
A(kx,ky)=j2πk2−kx2−ky2=j2πkzA(k_x,k_y)=\frac{j}{2\pi \sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2}}=\frac{j}{2\pi k_z}A(kx,ky)=2πk2−kx2−ky2j=2πkzj
综上，球面波展开成平面波的组合：
ejkRR=∬j2πkzej(kxx+kyy±kzz)dkxdky\frac{e^{jkR}}{R}=\iint \frac{j}{2\pi k_z}e^{j(k_xx+k_yy\pm k_zz)}{ \rm dk_x d k_y}RejkR=∬2πkzjej(kxx+kyy±kzz)dkxdky
这里的平面可以是普通的平面波，也可以是非均匀平面波（凋落波），即由于ξ>k\xi >kξ>k，kzk_zkz为纯虚数，如下式，但该波仅在z>0z>0z>0时才有物理意义
e−kzzej(kxx+kyy)e^{-k_zz}e^{j(k_xx+k_yy)}e−kzzej(kxx+kyy)

根据平面波的反射系数求解球面反射波的表达式

示意图如下，注意这里实际上是一个二维的场景，已将x,yx,yx,y缩为rrr，取的是三维空间中的一个径向的面来分析问题

根据上面得到的结论，可以写出球面反射波的积分形式：
pr=∬jV(kz)2πkzej(kxx+kyy+kz(z+z0))dkxdkyp_r=\iint \frac{jV(k_z)}{2\pi k_z}e^{j(k_xx+k_yy+ k_z(z+z_0))}{ \rm dk_x d k_y}pr=∬2πkzjV(kz)ej(kxx+kyy+kz(z+z0))dkxdky
将波矢域的直角坐标形式转换成极坐标形式，同样是为了求出上述积分式：
pr=∫0∞jV(kz)2πkzej(kz(z+z0))ξdξ∫02πejξcos(ψ−φ)dψp_r=\int_0^\infty \frac{jV(k_z)}{2\pi k_z}e^{j(k_z(z+z_0))}\xi{ \rm d\xi }\int_0^{2\pi}e^{j\xi cos(\psi-\varphi)} {\rm d \psi}pr=∫0∞2πkzjV(kz)ej(kz(z+z0))ξdξ∫02πejξcos(ψ−φ)dψ
后面那个对ψ\psiψ的积分的结果实际上是0阶贝塞尔函数，0阶贝塞尔函数又可以转换为第一类0阶汉克尔函数和第二类0阶汉克尔函数的组合，化简得：
pr=j2∫−∞∞V(kz)kzH0(1)(ξr)ej[kz(z+z0)]ξdξp_r=\frac{j}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{V(k_z)}{k_z}H_0^{(1)}(\xi r)e^{j[k_z(z+z_0)]}\xi{ \rm d\xi }pr=2j∫−∞∞kzV(kz)H0(1)(ξr)ej[kz(z+z0)]ξdξ

反射系数与入射角无关时的球面反射波表达式

如果反射系数与入射角无关时(即分界面为刚性分界面)，则可以将反射系数V(kz)V(k_z)V(kz)移到积分号外面，得到：
pr=jV(kz)2∫−∞∞H0(1)(ξr)ej[kz(z+z0)]kzξdξp_r=\frac{jV(k_z)}{2}\int_{-\infty}^\infty H_0^{(1)}(\xi r) \frac{e^{j[k_z(z+z_0)]}}{k_z}\xi{ \rm d\xi }pr=2jV(kz)∫−∞∞H0(1)(ξr)kzej[kz(z+z0)]ξdξ
可以发现，这个积分就是柱面波与球面波之间的变换式，故上式可以转换为球面波形式，其中R1=r2+(z+z0)2R_1=\sqrt{r^2+(z+z_0)^2}R1=r2+(z+z0)2：
pr=VejkR1R1p_r=\frac{Ve^{jkR_1}}{R_1}pr=R1VejkR1
上式的物理意义就是O′O^{'}O′处虚源产生的声场，点源强度乘上了一个反射系数。

一般情况下的远场球面反射波表达式

远场条件ξr≫1\xi r \gg1ξr≫1，此时对0阶第一类汉克尔函数作近似：
H0(1)(ξr)≈2πξrej(ξr−π4)H_0^{(1)}(\xi r)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi \xi r}}e^{j(\xi r -\frac{\pi}{4})}H0(1)(ξr)≈πξr2ej(ξr−4π)
代入前面的积分式，可以得到：
pr=ejπ42πr∫−∞∞ξV(kz)kzejw(ξ)dξp_r=\frac{e^{\frac{j\pi}{4}}}{\sqrt{2\pi r}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sqrt{\xi}V(k_z)}{k_z}e^{jw(\xi)} {\rm d \xi}pr=2πre4jπ∫−∞∞kzξV(kz)ejw(ξ)dξ
w(ξ)≡ξr+kz(z+z0)w(\xi)\equiv \xi r+k_z(z+z_0)w(ξ)≡ξr+kz(z+z0)
因为w(ξ)w(\xi)w(ξ)变化剧烈，而ξV(kz)kz\frac{\sqrt{\xi}V(k_z)}{k_z}kzξV(kz)变化相对来说缓慢，故可以用稳相法求积分，即先求出稳相点，然后在稳相点附近展开到二阶项，然后代入积分项，直流项可直接提出来，二阶项用到了换元技巧以及解析函数的围线积分为0的性质，对积分路径进行了变换，最终化简得到了远程条件下的球面反射波的表达式：
pr=V(θ0)ejkR1R1p_r=\frac{V(\theta_0)e^{jkR_1}}{R_1}pr=R1V(θ0)ejkR1
其中θ0\theta_0θ0对应的是图上的角度，其实也是稳相点求出的角度，恰好是声源以声线入射再反射到达目标点对应的角度。

Reference：
L.M. Brekhovskikh,&Yu.P. Lysanov. Fundamentals of Ocean Acoustic(Chapter 4)