为什么银行家舍入是合理的?
我们知道银行的盈利渠道主要是利息差,从储户手里收拢资金,然后放贷出去,其间的利息差额便是所获得的利润。对一个银行来说,对付给储户的利息的计算非常频繁。
场景介绍完毕,我们回过头来看四舍五入,小于5的数字被舍去,大于等于5的数字进位加一,由于所有位上的数字都是自然计算出来的,按照概率计算可知,被舍入的数字均匀分布在0到9之间,下面以10笔存款利息计算作为模型,以银行家的身份来思考这个算法:
(1)四舍:舍弃的数值:0.000、0.001、0.002、0.003、0.004,因为是舍弃,对银行家来说,就是不用付款给储户的,那每舍弃一个数字就会赚取相应的金额:0.000、0.001、0.002、0.003、0.004。
(2)五入:进位的数值:0.005、0.006、0.007、0.008、0.009,因为是进位,对银行家来说,每进一位就会多付款给储户,也就是亏损了,那亏损部分就是其对应的10进制补数:0.005、0.004、0.003、0.002、0.001
因为舍弃和进位的数字是在0到9之间均匀分布的,所以对于银行家来说,每10笔存款的利息因采用四舍五入而获得的盈利是:
0.000 + 0.001 + 0.002 + 0.003 + 0.004 - 0.005 - 0.004 - 0.003 - 0.002 - 0.001 = -0.005
也就是说,每10笔的利息计算中就亏损0.005元,即每笔利息计算损失0.0005元
这个算法误差是由美国银行家发现的,并且对此提出了一个修正算法,叫银行家舍入的近似算法,其规则如下:
(1)舍去位的数值小于5时,直接舍去;
(2)舍去为的数值大于等于6时,进位加一;
(3)当舍入位的数值等于5时,分两种情况:5后面没有其他非0数字,则进位后舍去;若5后面是0(即5是最后一个有效的数字),则根据5前一位数的奇偶性来判断需要进位还是舍去,5前为奇数要进位加一,为偶数要舍弃
问题:为什么银行家舍入是合理的?
四舍六入本身没问题,5前偶舍奇进也没问题,关键在为什么5后有非0数要进位?
遇5舍弃的情况只有一种,即5是最后一位有效的数字且前一位数是偶数
当数值精度达到5后一位,其为0的概率为1/10,5前为偶数的概率是1/2,所以舍5的概率是1/10 * 1/2 = 1/20,而进5的概率是19/20
当数值精度越大,舍5个概率就越低,无限趋近于0,也就是说,当数值精度越高,该算法越像“四舍五入”
那么,为什么这个算法是合理的呢?
现实情况就是数值的精度不可能无限大,存款利息率一般为百分之零点几,而数值精度一般4位,5后存在非0数的概率相对较小,所以趋近于1/2舍5,1/2进5
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