十、偏相关系数与Levinson递推公式

1.对Yule-Walker方程的推广——偏相关系数

在提出Yule-Walker方程时，我们提出过一个问题——既然AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列只需要ppp个自相关系数就能够建立Yule-Walker方程，为什么要将这个方程延拓到nnn阶呢？其实，在实际生活中，我们往往并不知道一个AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列的阶数，即我们不知道自回归系数一共有几个，在这种情况下，根本无法确定ppp，自然不能直接得到Γp,γp\Gamma_p,\boldsymbol \gamma_pΓp,γp具体的形态。本篇文章会解答这个问题。

首先我们将Yule-Walker方程的适用情况，从AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列推广到一切平稳序列{Xt}\{X_t\}{Xt}，假设平稳序列有自协方差函数{γk}\{\gamma_k\}{γk}和自协方差矩阵Γn\Gamma_nΓn，则关于an\boldsymbol a_nan的方程
γn=Γnan\boldsymbol \gamma_n=\Gamma_n\boldsymbol a_n γn=Γnan
被称为{γk}\{\gamma_k\}{γk}的nnn阶Yule-Walker方程，这里的an=(an,1,an,2,⋯,an,n)′\boldsymbol a_n=(a_{n,1},a_{n,2},\cdots,a_{n,n})'an=(an,1,an,2,⋯,an,n)′被称为nnn阶Yule-Walker系数。如果Γn\Gamma_nΓn正定则an=Γn−1γn\boldsymbol a_n=\Gamma_{n}^{-1}\boldsymbol \gamma_nan=Γn−1γn，此时的Yule-Walker系数由自协方差函数完全决定了。

需要注意这里的Yule-Walker系数与AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列的不一样。在AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列中，如果n≥pn\ge pn≥p，nnn阶Yule-Walker系数an\boldsymbol a_nan的前ppp个值就是其自回归系数，后面的值都是0，而在n<pn<pn<p的情况则不一定是自回归系数的前nnn个值。这里定义的nnn阶Yule-Walker系数，是对任何平稳序列{Xt}\{X_t\}{Xt}或{γk}\{\gamma_k\}{γk}都存在的，是方程的解向量，自然不存在自回归系数这一概念。

并且，nnn阶Yule-Walker系数是依赖于nnn的，在没有给出nnn时是无法对其进行求解的。而且，不同阶数的an\boldsymbol a_nan的同位置分量往往数值也不同。比如AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列的ppp阶Yule-Walker系数是自回归系数，但小于ppp阶时，如a1=γ1/γ0\boldsymbol a_1=\gamma_1/\gamma_0a1=γ1/γ0，就不等于第一个自回归系数a1a_1a1。不过作为特例，AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列在ppp阶以上的Yule-Walker系数的同位置分量是一样的。

最后，由于Γn\Gamma_nΓn正定时，an\boldsymbol a_nan由{γk}\{\gamma_k\}{γk}完全确定，所以我们给Γn\Gamma_nΓn正定时的nnn阶Yule-Walker系数起一个名字——偏相关系数。我们接下来将探讨Yule-Walker系数的应用。

2.最优线性预测与Yule-Walker系数

要探究Yule-Walker系数的作用，我们先对上一篇最后提到的完全可预测性作出延伸。虽然对于极大多数平稳序列，Xn+1X_{n+1}Xn+1不能由X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_{n}X1,⋯,Xn线性表示，但我们可以用这nnn个向量的线性组合对Xn+1X_{n+1}Xn+1作出估计，也就是用X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_{n}X1,⋯,Xn的线性组合作为Xn+1X_{n+1}Xn+1的估计量。

不同的线性组合会产生不同的估计量，不同的估计量之间必然存在优劣，一个常用来评判估计量好坏的指标是均方误差，即E(Xn+1−∑j=1nbjXi)2{\rm E}(X_{n+1}-\sum\limits_{j=1}^nb_jX_i)^2E(Xn+1−j=1∑nbjXi)2。在这么多Xn+1X_{n+1}Xn+1的估计量中，存在一个均方误差最小的线性组合，它被称为最优线性预测。

巧合的是，最优线性预测对应的系数，与Yule-Walker系数an\boldsymbol a_nan完全一致，也就是满足γn=Γnan\boldsymbol \gamma_n=\Gamma_n\boldsymbol a_nγn=Γnan的这组系数，下面我们给出定理及其证明：

最优线性预测：如果an\boldsymbol a_nan是{Xt}\{X_t\}{Xt}的nnn阶Yule-Walker系数，则Xn+1X_{n+1}Xn+1的最优线性预测是
X^n+1=∑j=1nan,jXt+1−j=an′Xn.Xn=(Xn,⋯,X1)′.\hat X_{n+1}=\sum_{j=1}^n a_{n,j}X_{t+1-j}=\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n .\quad \boldsymbol X_n=(X_n,\cdots,X_1)'. X^n+1=j=1∑nan,jXt+1−j=an′Xn.Xn=(Xn,⋯,X1)′.
将预测的均方误差设置为
σn2=ΔE(Xn+1−an′Xn)2.\sigma_n^2\stackrel \Delta={\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)^2. σn2=ΔE(Xn+1−an′Xn)2.
现在对此定理作出证明。任取一组常数bn\boldsymbol b_nbn，其线性预测为bn′Xn\boldsymbol b_n'\boldsymbol X_nbn′Xn，则有
E(Xn+1−bn′Xn)2=E(Xn+1−an′Xn+(an′−bn)′Xn)2=E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2+2E(Xn+1−an′Xn)[(an−bn)′Xn]=E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2+2E(Xn+1−an′Xn)Xn′(an−bn)=E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2+2(γn−an′Γn)(an−bn)=E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2≥E(Xn+1−an′Xn)2.\begin{aligned} &{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol b_n'\boldsymbol X_n)^2\\ =&{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n+(\boldsymbol a_n'-\boldsymbol b_n)'\boldsymbol X_n)^2\\ =&{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)^2+{\rm E}[(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)'\boldsymbol X_n]^2+2{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)[(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)'\boldsymbol X_n]\\ =&{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)^2+{\rm E}[(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)'\boldsymbol X_n]^2+2{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)\boldsymbol X_n'(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)\\ =&{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)^2+{\rm E}[(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)'\boldsymbol X_n]^2+2(\boldsymbol \gamma_n-\boldsymbol a_n'\Gamma_n)(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)\\ =&{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)^2+{\rm E}[(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)'\boldsymbol X_n]^2\\ \ge&{\rm E}(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n)^2. \end{aligned} =====≥E(Xn+1−bn′Xn)2E(Xn+1−an′Xn+(an′−bn)′Xn)2E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2+2E(Xn+1−an′Xn)[(an−bn)′Xn]E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2+2E(Xn+1−an′Xn)Xn′(an−bn)E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2+2(γn−an′Γn)(an−bn)E(Xn+1−an′Xn)2+E[(an−bn)′Xn]2E(Xn+1−an′Xn)2.
这里第三行到第四行，是将(an−bn)′Xn(\boldsymbol a_n-\boldsymbol b_n)'\boldsymbol X_n(an−bn)′Xn进行转置，因为1阶矩阵转置等于自身；第四行到第五行是自然的期望向自协方差函数转化；第五行到第六行是因为γn=an′Γn\boldsymbol \gamma_n=\boldsymbol a_n'\Gamma_nγn=an′Γn。

这个定理说明，偏相关系数的一个重要作用，是用历史的信息对未来做出预测，这种预测是最佳线性预测。

3.Yule-Walker系数的计算——Levinson递推

要求解Yule-Walker系数很简单，只要找到Γn\Gamma_nΓn的逆矩阵，计算an=Γn−1γn\boldsymbol a_n=\Gamma_n^{-1}\boldsymbol \gamma_nan=Γn−1γn即可，但这种简单仅仅是理论上的，因为随着阶数nnn的增长，Γn\Gamma_nΓn的求逆计算复杂度会很快增加。为了简化计算，我们通常采用Levinson递推公式，它用来递推地计算Yule-Walker系数与最优线性预测的均方误差。

Levinson递推公式：如果Γn+1\Gamma_{n+1}Γn+1正定，则对1≤k≤n1\le k\le n1≤k≤n有
{a1,1=γ1γ0,σ02=γ0,−−−−σk2=σk−12(1−ak,k2),ak+1,k+1=γk+1−∑j=1kγjak,k+1−jγ0−∑j=1kγjak,j=γk+1−γkak,1−⋯−γ1ak,kγ0−γ1ak,1−⋯−γkak,k,ak+1,j=ak,j−ak+1,k+1ak,k+1−j,1≤j≤k.\left\{ \begin{array}l a_{1,1}=\dfrac{\gamma_1}{\gamma_0},\\ \sigma^2_0=\gamma_0,\\ ----\\ \sigma_k^2=\sigma_{k-1}^2(1-a_{k,k}^2),\\ a_{k+1,k+1}=\dfrac{\gamma_{k+1}-\sum_{j=1}^k \gamma_ja_{k,k+1-j}}{\gamma_0-\sum_{j=1}^k\gamma_ja_{k,j}}=\dfrac{\gamma_{k+1}-\gamma_ka_{k,1}-\cdots-\gamma_1a_{k,k}}{\gamma_0-\gamma_1a_{k,1}-\cdots-\gamma_ka_{k,k}},\\ a_{k+1,j}=a_{k,j}-a_{k+1,k+1}a_{k,k+1-j},1\le j\le k. \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a1,1=γ0γ1,σ02=γ0,−−−−σk2=σk−12(1−ak,k2),ak+1,k+1=γ0−∑j=1kγjak,jγk+1−∑j=1kγjak,k+1−j=γ0−γ1ak,1−⋯−γkak,kγk+1−γkak,1−⋯−γ1ak,k,ak+1,j=ak,j−ak+1,k+1ak,k+1−j,1≤j≤k.
这里σk2\sigma_k^2σk2是用Xk\boldsymbol X_kXk预测X^k+1\hat X_{k+1}X^k+1时的均方误差。

看起来Levinson递推公式非常硕大，但具有非常好记的规律。首先，前两个式子是递推基础，可以直接通过计算得到；后三个式子是递推关系，即在获得上一行Yule-Walker系数和均方误差后，可以通过这三个式子计算下一行的Yule-Walker系数和均方误差。

然后看计算顺序，在获得上一行的所有Yule-Walker系数后，先计算的是下一行中多出来的位置的系数值，再计算下一行的其他Yule-Walker系数值，最后计算下一行的预测均方误差。在整个计算过程中的Yule-Walker系数计算顺序可以如下呈现（均方误差在获得某行所有数值后计算）：
a1,1→a2,2→a2,⋅→a3,3→a3,⋅→⋯→ak,k→ak,⋅→ak+1,k+1→ak+1,⋅→⋯a_{1,1}\to a_{2,2}\to a_{2,\cdot}\to a_{3,3}\to a_{3,\cdot}\to \cdots\to a_{k,k}\to a_{k,\cdot}\to a_{k+1,k+1}\to a_{k+1,\cdot}\to \cdots a1,1→a2,2→a2,⋅→a3,3→a3,⋅→⋯→ak,k→ak,⋅→ak+1,k+1→ak+1,⋅→⋯
最后观察计算形式，在ak+1,k+1a_{k+1,k+1}ak+1,k+1的计算中，分子是协方差倒着排列从γk+1\gamma_{k+1}γk+1开始与顺序排列的Y-W相乘的，而分母是协方差正着排列从γ0\gamma_0γ0开始与顺序排列的Y-W系数相乘的；在ak+1,ja_{k+1,j}ak+1,j的计算中，被减数是上一行对应位置的Y-W系数，减数则要用刚算出来的ak+1,k+1a_{k+1,k+1}ak+1,k+1与上一行对称位置的Y-W系数相乘；最后是预测均方误差，是在上一行的均方误差基础上乘上(1−ak+1,k+12)(1-a_{k+1,k+1}^2)(1−ak+1,k+12)，可以看出，随着阶数的增长，均方误差不会增长。

4.偏相关系数的性质

偏相关系数是Γn\Gamma_nΓn正定时的Y-W系数，它满足最小相位条件，即如果Γn+1\Gamma_{n+1}Γn+1正定，则
1−∑j=1nan,jzj≠0,∣z∣≤1.1-\sum_{j=1}^na_{n,j}z^j\ne 0,|z|\le 1. 1−j=1∑nan,jzj=0,∣z∣≤1.
现在我们可以回到最初提出的问题：在AR(p){\rm AR}(p)AR(p)自回归系数不定阶时，如何确定其阶数并计算其自回归系数？归根到底，就是阶数的确定。为了解决这个问题，我们需要知道AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列偏相关系数的一个重要性质——ppp后截尾。

ppp后截尾性：对于平稳序列，如果在n≥pn\ge pn≥p时偏相关系数满足
an,n={ap,n=p,0,n>p.a_{n,n}=\left\{ \begin{array}l a_p,&n=p,\\ 0,&n>p. \end{array} \right. an,n={ap,0,n=p,n>p.
就称它的偏相关系数是ppp后截尾的。

AR(p){\rm AR}(p)AR(p)的判定：零均值平稳序列{Xt}\{X_t\}{Xt}是AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列的充要条件是，它的偏相关系数an,na_{n,n}an,n在ppp后截尾。

这个定理给出了AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列的重要判定方式，即计算其nnn阶偏相关系数，如果观察到在某一位后都是0，则这个序列是AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列，并且自然地得到它的阶数。

证明其充分性，记ap=(ap,1,⋯,ap,p)′=(a1,⋯,ap)′\boldsymbol a_p=(a_{p,1},\cdots,a_{p,p})'=(a_1,\cdots,a_p)'ap=(ap,1,⋯,ap,p)′=(a1,⋯,ap)′，既然它是ppp截尾的，那么ap+k,p+k=0a_{p+k,p+k}=0ap+k,p+k=0，由Levinson递推公式，得到
ap+1,j=ap,j−ap+1,p+1ap,p+1−j=aj,1≤j≤p,ap+k,j=ap+k−1,j=⋯=ap,j=aj,1≤j≤p,k≥2,ap+k,j=aj,j=0,p<j≤p+k.a_{p+1,j}=a_{p,j}-a_{p+1,p+1}a_{p,p+1-j}=a_j,\quad 1\le j\le p,\\ a_{p+k,j}=a_{p+k-1,j} =\cdots=a_{p,j}=a_j,\quad 1\le j\le p,k\ge2,\\ a_{p+k,j}=a_{j,j}=0,\quad p<j\le p+k. ap+1,j=ap,j−ap+1,p+1ap,p+1−j=aj,1≤j≤p,ap+k,j=ap+k−1,j=⋯=ap,j=aj,1≤j≤p,k≥2,ap+k,j=aj,j=0,p<j≤p+k.
这说明对n≥pn\ge pn≥p，总有
an′=(an,1,an,2,⋯,an,n)=(a1,⋯,ap,0,⋯,0).\boldsymbol a_n'=(a_{n,1},a_{n,2},\cdots,a_{n,n})=(a_1,\cdots,a_p,0,\cdots,0). an′=(an,1,an,2,⋯,an,n)=(a1,⋯,ap,0,⋯,0).
那么由Yule-Walker方程，k≥1k\ge1k≥1时γk=∑j=1pajγk−j\gamma_k=\sum\limits_{j=1}^p a_j\gamma_{k-j}γk=j=1∑pajγk−j。现定义εt=Xt−∑j=1pajXt−j\varepsilon_t=X_t-\sum\limits_{j=1}^pa_jX_{t-j}εt=Xt−j=1∑pajXt−j，则如果{εt}\{\varepsilon_t\}{εt}是白噪声，就说明XtX_tXt是AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列。
Eεt=E(Xt−∑j=1pajXt−j)=0;Dεt=Eεt2=σp2>0.{\rm E}\varepsilon_t={\rm E}(X_t-\sum_{j=1}^p a_jX_{t-j})=0;\\ {\rm D}\varepsilon_t={\rm E}\varepsilon_t^2=\sigma_p^2>0. Eεt=E(Xt−j=1∑pajXt−j)=0;Dεt=Eεt2=σp2>0.
先证明εt\varepsilon_tεt与ttt时刻之前时刻sss时候的XsX_sXs无关，也就是∀t>s\forall t>s∀t>s，
E(εtXs)=E[(Xt−∑j=1pajXt−j)Xs]=γt−s−∑j=1pajγt−s−j=0,{\rm E}(\varepsilon_tX_s)={\rm E}\left[\left(X_t-\sum_{j=1}^pa_j X_{t-j} \right) X_s\right]=\gamma_{t-s}-\sum_{j=1}^pa_j\gamma_{t-s-j}=0, E(εtXs)=E[(Xt−j=1∑pajXt−j)Xs]=γt−s−j=1∑pajγt−s−j=0,
于是有∀t>s\forall t>s∀t>s，
E(εtεs)=E[εt(Xs−∑j=1pajXs−j)]=0.{\rm E}(\varepsilon_t\varepsilon_s)={\rm E}\left[\varepsilon_t\left(X_s-\sum_{j=1}^pa_jX_{s-j} \right) \right]=0. E(εtεs)=E[εt(Xs−j=1∑pajXs−j)]=0.
所以{εt}\{\varepsilon_t\}{εt}是WN(0,σp2){\rm WN}(0,\sigma_p^2)WN(0,σp2)，并且我们之前证明了偏相关系数满足最小相位条件（稳定性条件），所以{Xt}\{X_t\}{Xt}是AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列。

反过来，如果零均值平稳序列{Xt}\{X_t\}{Xt}是AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列，则由Yule-Walker方程，当n≥pn\ge pn≥p时自然有
γn=Γnan,an=(a1,⋯,ap,0,⋯,0).\boldsymbol \gamma_n=\Gamma_n\boldsymbol a_n,\boldsymbol a_n=(a_1,\cdots,a_p,0,\cdots,0). γn=Γnan,an=(a1,⋯,ap,0,⋯,0).
这就说明偏相关系数是ppp后截尾的。

有了这个定理，我们验证某序列是平稳的就有了固定的模式：先根据其历史信息计算自协方差函数的估计值{γ^k}\{\hat \gamma_k\}{γ^k}，如果它是收敛的，则根据γ^k\hat \gamma_kγ^k计算偏相关系数的估计值{a^n,n}\{\hat a_{n,n}\}{a^n,n}，如果它是ppp后截尾的就说明原序列是平稳序列，且阶数就是截尾位置ppp。

回顾总结

Yule-Walker方程是对任何平稳序列的方程：γn=Γnan\boldsymbol \gamma_n=\Gamma_n\boldsymbol a_nγn=Γnan，方程的解an\boldsymbol a_nan称为Yule-Walker系数。
如果Γn\Gamma_nΓn是正定矩阵，则an=Γ−nγn\boldsymbol a_n=\Gamma^{-n}\boldsymbol \gamma_nan=Γ−nγn，即Yule-Walker系数由自协方差函数唯一确定，此时的Yule-Walker系数被称为偏相关系数。
Yule-Walker系数可以用来预测平稳序列。如果已知前nnn个历史信息，则Xn+1X_{n+1}Xn+1的最优线性预测为
an′Xn=∑j=1∞an,jXn+1−j.\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n=\sum_{j=1}^\infty a_{n,j}X_{n+1-j}. an′Xn=j=1∑∞an,jXn+1−j.
均方误差为
σn2=E(Xn+1−an′Xn)2.\sigma_n^2={\rm E}\left(X_{n+1}-\boldsymbol a_n'\boldsymbol X_n \right)^2. σn2=E(Xn+1−an′Xn)2.
在已知自协方差函数时，用来计算偏相关系数的常用方法不是求正定矩阵Γn+1\Gamma_{n+1}Γn+1逆，而是用Levinson递推公式，其形式是
{a1,1=γ1/γ0,σ12=γ0,σk2=σk−12(1−ak,k2),ak+1,k+1=γk+1−ak,1γk−⋯−ak,kγ1γ0−ak,1γ1−⋯−ak,kγk,ak+1,j=ak,j−ak+1,k+1ak,k+1−j.\left\{ \begin{array}l a_{1,1}=\gamma_1/\gamma_0,\\ \sigma^2_1=\gamma_0,\\ \sigma_k^2=\sigma_{k-1}^2(1-a_{k,k}^2),\\ a_{k+1,k+1}=\dfrac{\gamma_{k+1}-a_{k,1}\gamma_k-\cdots-a_{k,k}\gamma_1}{\gamma_0-a_{k,1}\gamma_1-\cdots-a_{k,k}\gamma_k},\\ a_{k+1,j}=a_{k,j}-a_{k+1,k+1}a_{k,k+1-j}. \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧a1,1=γ1/γ0,σ12=γ0,σk2=σk−12(1−ak,k2),ak+1,k+1=γ0−ak,1γ1−⋯−ak,kγkγk+1−ak,1γk−⋯−ak,kγ1,ak+1,j=ak,j−ak+1,k+1ak,k+1−j.
ppp后截尾指的是an,na_{n,n}an,n在n>pn>pn>p时恒为0。对于零均值平稳序列{Xt}\{X_t\}{Xt}，它是AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列的充要条件是它的偏相关系数ppp后截尾。
验证AR(p){\rm AR}(p)AR(p)序列的一般步骤：根据样本求自协方差函数的估计值、观察自协方差函数的收敛性、用Levinson递推公式计算偏相关系数的估计值、观察偏相关系数的后截尾性。

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