拉马努金的圆周率计算公式

拉马努金的几个神仙公式。据说他的论文里一共发表了14条圆周率的计算公式，但目前只收集到十个。

1π=18∑m=0∞(20m+3)(−1)m(4m)!(42)4m(m!)41π=123∑m=0∞(8m+1)(4m)!(43)4m(m!)41π=316∑m=0∞(28m+3)(−1)m(4m)!(643)2m(m!)41π=229∑m=0∞(10m+1)(4m)!124m(m!)41π=172∑m=0∞(260m+23)(−1)m(4m)!(122)4m(m!)41π=3349∑m=0∞(40m+3)(4m)!284m(m!)41π=11811∑m=0∞(280m+19)(4m)!(1211)4m(m!)41π=5288∑m=0∞(644m+41)(−1)m(4m)!(11525)2m(m!)41π=2842∑m=0∞(21460m+1123)(−1)m(4m)!(842)4m(m!)41π=22992∑m=0∞(26390m+1103)(4m)!3964m(m!)4\begin{aligned} \frac{1}{\pi} &=\frac{1}{8} \sum^{\infty}_{m=0}(20m+3)\frac{(-1)^m(4m)!}{(4\sqrt{2})^{4m}(m!)^4} & \quad \frac{1}{\pi} &=\frac{1}{2\sqrt{3}} \sum^{\infty}_{m=0}(8m+1)\frac{(4m)!}{(4\sqrt{3})^{4m}(m!)^4} \\ \frac{1}{\pi} &=\frac{\sqrt3}{16} \sum^{\infty}_{m=0}(28m+3)\frac{(-1)^m(4m)!}{(64\sqrt{3})^{2m}(m!)^4} & \quad \frac{1}{\pi} &=\frac{2\sqrt{2}}{9} \sum^{\infty}_{m=0}(10m+1)\frac{(4m)!}{12^{4m}(m!)^4} \\ \frac{1}{\pi} &=\frac{1}{72} \sum^{\infty}_{m=0}(260m+23)\frac{(-1)^m(4m)!}{(12\sqrt{2})^{4m}(m!)^4} & \quad \frac{1}{\pi} &=\frac{3\sqrt3}{49} \sum^{\infty}_{m=0}(40m+3)\frac{(4m)!}{28^{4m}(m!)^4} \\ \frac{1}{\pi} &=\frac{1}{18\sqrt{11}} \sum^{\infty}_{m=0}(280m+19)\frac{(4m)!}{(12\sqrt{11})^{4m}(m!)^4} & \quad \frac{1}{\pi} &=\frac{\sqrt{5}}{288} \sum^{\infty}_{m=0}(644m+41)\frac{(-1)^m(4m)!}{(1152\sqrt{5})^{2m}(m!)^4} \\ \frac{1}{\pi} &=\frac{2}{84^2} \sum^{\infty}_{m=0}(21460m+1123)\frac{(-1)^m(4m)!}{(84\sqrt{2})^{4m}(m!)^4} & \quad \frac{1}{\pi} &=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum^{\infty}_{m=0}(26390m+1103)\frac{(4m)!}{396^{4m}(m!)^4} \end{aligned} π1π1π1π1π1=81m=0∑∞(20m+3)(42)4m(m!)4(−1)m(4m)!=163m=0∑∞(28m+3)(643)2m(m!)4(−1)m(4m)!=721m=0∑∞(260m+23)(122)4m(m!)4(−1)m(4m)!=18111m=0∑∞(280m+19)(1211)4m(m!)4(4m)!=8422m=0∑∞(21460m+1123)(842)4m(m!)4(−1)m(4m)!π1π1π1π1π1=231m=0∑∞(8m+1)(43)4m(m!)4(4m)!=922m=0∑∞(10m+1)124m(m!)4(4m)!=4933m=0∑∞(40m+3)284m(m!)4(4m)!=2885m=0∑∞(644m+41)(11525)2m(m!)4(−1)m(4m)!=99222m=0∑∞(26390m+1103)3964m(m!)4(4m)!

1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良。
1π=12∑m=0∞545140134m+135914096403203m+32×(−1)m(6m)!(3m)!(m!)3\frac{1}{\pi}=12\sum^{\infty}_{m=0} \frac{545140134m+13591409}{640320^{3m+\frac{3}{2}}} \times \frac{(-1)^m(6m)!}{(3m)!(m!)^3}π1=12m=0∑∞6403203m+23545140134m+13591409×(3m)!(m!)3(−1)m(6m)!

百度拉马努金公式，搜索结果是最后一条，所以公式改良应该也是针对最后一条

用代码验证第一条公式：
我这里循环写到了26。因为循环在26到43之间取值都一样，毕竟笔记本精度有限；当超过43时，程序运行出错，毕竟笔记本能力有限

import mathsum = 0
for m in range(26):x = (20*m+3)*((-1)**m)*math.factorial(4*m)y = ((4*math.sqrt(2))**(4*m))*(math.factorial(m))**4sum = sum + x/ypi = 8/sum# π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
print(pi)print(math.pi)'''
可以看到效果还是很不错的，起码比math库多一位，但真实值应该是2，准确度还差点。
3.1415926535897936
3.141592653589793
'''

改良公式：（改良还是有道理的，2到18取值一样，超过18，程序出错）

import mathsum = 0
for m in range(2):x = (545140134*m+13591409)*((-1)**m)*math.factorial(6*m)y = ((640320)**(3*m+1.5)) * (math.factorial(3*m)) * (math.factorial(m))**3sum = sum + x/ypi = 1/(12*sum)# π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
print(pi)print(math.pi)'''
3.1415926535897936
3.141592653589793
'''

写了个Java代码，发现效果并不理想，循环超过10，输出就为NaN。
以下Java代码输出结果为：3.1463949385904666。而同是循环10次的python结果为：3.141593404158244
除了Math函数自身会将数值部分丢失，最大的问题就是Java的数据类型限制了范围。

    public static void main(String[] args) {Double sum = 0.0;for (int m = 0; m < 10; m++) {Double x = (20*m+3)*(Math.pow(-1, m))*factorial(4*m);Double y = (Math.pow(4*Math.sqrt(2), 4*m))*power(factorial(m),4);sum += x/y;}Double pi = 8/sum;System.out.println(pi);}// 利用递归计算阶乘public static int factorial(int num){int sum = 1;if(num==1 || num==0){return 1;}else{sum=num * factorial(num-1);//运用递归计算return sum;}}// 计算次方public static int power(int num, int n){int pow = 1;for (int i = 0; i < n; i++) {pow *= num;}return pow;}

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