欧拉函数积性性的证明

若m,nm,nm,n互质，则ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)
由m,nm,nm,n互质可知m,nm,nm,n无公因数，ϕ(m)ϕ(n)=m(1−1p1)(1−1p2)...(1−1pk)n(1−1p1′)(1−1p2′)...(1−1pk′)\phi(m)\phi(n)=m(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})n(1-\frac{1}{p_1^{'}})(1-\frac{1}{p_2^{'}})...(1-\frac{1}{p_k^{'}})ϕ(m)ϕ(n)=m(1−p11)(1−p21)...(1−pk1)n(1−p1′1)(1−p2′1)...(1−pk′1)
其中p1,p2,...,pnp_1,p_2,...,p_np1,p2,...,pn为mmm的质因数,p1′,p2′,...,pn′p_1^{'},p_2^{'},...,p_n^{'}p1′,p2′,...,pn′为nnn的质因数，而m,nm,nm,n无公因数
所以p1,p2...,pn,p1′,p2′,...,pn′p_1,p_2...,p_n,p_1^{'},p_2^{'},...,p_n^{'}p1,p2...,pn,p1′,p2′,...,pn′互不相同,所以p1,p2...,pn,p1′,p2′,...,pn′p_1,p_2...,p_n,p_1^{'},p_2^{'},...,p_n^{'}p1,p2...,pn,p1′,p2′,...,pn′均为m,nm,nm,n的质因数且为m,nm,nm,n质因数的全集
所以ϕ(mn)=mn(1−1p1)(1−1p2)...(1−1pk)(1−1p1′)(1−1p2′)...(1−1pk′)\phi(mn)=mn(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})(1-\frac{1}{p_1^{'}})(1-\frac{1}{p_2^{'}})...(1-\frac{1}{p_k^{'}})ϕ(mn)=mn(1−p11)(1−p21)...(1−pk1)(1−p1′1)(1−p2′1)...(1−pk′1)
所以ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)

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