使用回溯法求解装载问题

回溯法解决装载问题（java实现）

问题描述：有n个集装箱要装上两艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且：∑ wi ≤ C1+C2。求是否有一个合理的装载方案能将这 n 个集装箱装上这两艘轮船。
分析：假设wt 为装上第一艘轮船的集装箱的重量之和。此时，如果有

，则问题有解；否则问题无解。所以，该问题是在 wt ≤ C1的前提下，寻找 wt 最大值，使得C1 -wt 尽量小，等价于如何将第一艘轮船尽可能装满。而如何将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱的重量之和最接近C1。所以该问题可以形式化描述为

设有3个集装箱要装上两艘重量分别为C1和C2的轮船，C1=C2=30，w={16,15,15}。问是否有一个合理的方案能将这3个集装箱装上两艘船？采用回溯法求解该问题。

1. 定义问题的解空间
对于有3个集装箱要装上轮船的装载问题，其解空间由长度为3的0-1向量即{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}组成。

2. 建立解空间结构
装载问题的解空间结构是一棵完全二叉树。解空间树中每个结点都有左右两个分支，左分支用1标识，表示把第 i 个集装箱放上轮船，右分支用0标识，表示不把集装箱 i 放上轮船。解空间树的第i层到第 i+1层边上的标号给出了变量的值，从树根到叶的任意一条路径表示解空间中的一个元素。例如，从根结点A到叶结点 L 的路径对应于解空间中的元素(0,1,1)。装载问题的解空间树如图所示。

3. 采用回溯法以深度优先的方式搜索解空间树
初始时结点A是活结点并且是当前的可扩展结点，结点A有2个子结点，即B和C。左分支用1标识，表示把集装箱1放上第一艘轮船，右分支用0标识，不把集装箱1放上轮船。结点A是根结点，根结点在第一层，i从1开始调用回溯算法框架，即使用函数backtrack(1)开始搜索进程。注意，此时除集装箱1外，岸上剩余集装箱(集装箱2和集装箱3)的重量之和为30 (r=30)。
在搜索过程中，为了加快搜索的进程，避免无效搜索，在进入左子树之前，需设置约束函数在扩展结点处剪去不满足的约束条件的子树；在进入右子树之前，需设置限界函数在扩展结点处剪去不能得到最优解的子树。首先检测左子树处是否满足约束条件。
如图：

用cw表示当前已放上轮船的集装箱的重量和，w[1]为集装箱 1 的重量，C1是第一艘轮船的载重。因为cw+w[1]≤C1，结点B满足约束条件，可以将集装箱1放上轮船，x[1]=1,cw=16。结点B成为活结点并成为当前可扩展结点，递归函数backtrack（2）开始向结点B的下一层进行搜索。以此类推，直到找到整个问题的最优解。

代码实现

package backtrack;
public class Loading {int number;  //集装箱的数量int[] w;  //集装箱重量数组，记录每个集装箱的重量int c1; // 第一艘轮船的载重量int cw; //当前的载重量int bestw; // 当前最优载重量int r;  //剩余集装箱重量int[] x;  //当前解int[] bestx;  //当前最优解public void maxLoading(int n,int[] ww,int cc) {//初始化数据成员w=ww;c1=cc;// 第一艘轮船的载重量cw=0;//当前的载重量bestw=0;// 当前最优载重量number=n;x=new int[n+1];bestx=new int[n+1];for(int i=1;i<=n;i++) {r+=w[i]; //初始化r}//调用backtrack(i)函数计算最优载重量backtrack(1);//输出最佳装载方案System.out.println("最优装载方案为：");for(int k=1;k<=n;k++) {System.out.print(bestx[k]+" ");}System.out.println();//输出最优装载量System.out.println("最优装载量为："+bestw);}//回溯法实现求解最优装载问题public void backtrack(int i){//搜索第i层结点if(i>number) {  //到达叶节点for(int j=1;j<=number;j++) {bestx[j]=x[j];}bestw=cw;return;}//搜索子树r-=w[i];if(cw+w[i]<=c1){ //搜索左子树x[i]=1;cw+=w[i];backtrack(i+1);cw-=w[i];}if(cw+r>bestw) {// 搜索右子树x[i]=0;backtrack(i+1);}         r+=w[i];}public static void main(String[] args) {int n=3;//集装箱的数量int c=30;//第一艘轮船的载重量int[] weight= {0,16,15,15};//集装箱重量数组Loading l=new Loading();l.maxLoading(n,weight,c);  }
}

当然，在最后我们还得检验一下，在轮船1达到最优载重量时，剩余的集装箱总重量是否超出轮船2的载重量，如果超出，那么该问题仍是无解的。

package backtrack;
public class Loading {int number;  //集装箱的数量int[] w;  //集装箱重量数组，记录每个集装箱的重量int totalWeight;//集装箱总重量int c1; // 第一艘轮船的载重量int c2; // 第二艘轮船的载重量int cweight2;// 第二艘轮船需要装载的重量int cw; //当前的载重量int bestw; // 当前最优载重量int r;  //剩余集装箱重量int[] x;  //当前解int[] bestx;  //当前最优解public void maxLoading(int n,int[] ww,int c1,int c2) {//初始化数据成员w=ww;this.c1=c1;// 第一艘轮船的载重量this.c2=c2;// 第一艘轮船的载重量cweight2=0;cw=0;//当前的载重量bestw=0;// 当前最优载重量number=n;x=new int[n+1];bestx=new int[n+1];for(int i=1;i<=n;i++) {r+=w[i]; //初始化rtotalWeight+=w[i]; //初始化totalWeight}//调用backtrack(i)函数计算最优载重量backtrack(1);//计算第二艘轮船需要的装载量cweight2=totalWeight-bestw;//输出最佳装载方案if(cweight2<= c2) {   //如果第二艘轮船需要的装载量小于其载重量，则两艘轮船可以装载所有物品System.out.println("可以装载所有货物！");System.out.println("第一艘轮船的最优装载方案为：");for(int k=1;k<=n;k++) {System.out.print(bestx[k]+" ");}System.out.println();//输出最优装载量System.out.println("第一艘轮船的最优装载量为："+bestw);System.out.println("第二艘轮船需要装载的重量为："+cweight2);}else {System.out.println("无法装载所有货物！");}}//回溯法实现求解最优装载问题public void backtrack(int i){//搜索第i层结点if(i>number) {  //到达叶节点for(int j=1;j<=number;j++) {bestx[j]=x[j];}bestw=cw;return;}//搜索子树r-=w[i];if(cw+w[i]<=c1){ //搜索左子树x[i]=1;cw+=w[i];backtrack(i+1);cw-=w[i];}if(cw+r>bestw) {// 搜索右子树x[i]=0;backtrack(i+1);}         r+=w[i];}public static void main(String[] args) {int n=3;//集装箱的数量int c1=30;//第一艘轮船的载重量int c2=30;int[] weight= {0,16,15,15};//集装箱重量数组Loading l=new Loading();l.maxLoading(n,weight,c1,c2);    }
}

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