SDR及其在波束成形中的应用

一、半定松弛 Semidefinite relaxation (SDR)

1.齐次QCQP

SDR可以用于解决很多非凸的二次约束二次规划问题，因此成为信号处理领域一个有力的工具。一般的实值齐次QCQP问题可以表示为如下的形式：

其中X是一个秩为1的半正定矩阵，因此该问题转化为如下的形式：

优化变量从原来的x变成了X，目标函数和约束条件对于X都是线性的，因此是convex,除了秩为1的约束。为了解决问题，我们先放过最后一个约束条件，即relaxation，这也就是我所理解其称为SDR的原因。至此就得到了一个标准的SDP问题，而以上的凸问题就可以借助CVX进行求解，大部分工具箱使用的都是内点法。

虽然通过以上的方式，我们可以得到一个 $X^{*}$ ,但是我们无法保证由此得到的 $x\tilde{}$ 是可行的，因为我们在求解过程中放掉了秩为1的约束。如果 $X^{*}$ 的秩恰好为1，那么问题解决。在秩不为1的情况下，通常有以下的解决方法：

（1）对 $X^{*}$ 做特征值分解，选取最大特征值及其对应的特征向量

以上的直接近似适用于x无约束的情况。例如实际问题中，如果x具有恒模约束就需要将 $x\tilde{}$ 映射到可行解。

（2）使用高斯随机化过程得到高质量的秩1解（这里还没研究明白）

缺点：虽然我们通过一系列的方法最终得到了可行解，但是中间的处理过程必然会造成性能的损失，因此也就必然无法取得optimal。当然，这是理所应当的，否则我们就在多项式时间内解决了一个NP-hard问题。

2.更一般的形式:非齐次QCQP问题

对于以上的非齐次形式，我们可以通过引入辅助变量t将其转化为齐次形式后进行求解。

二、应用举例：IRS passive beamforming

对于一个IRS辅助的MIMO单用户系统，优化问题常表示为如下形式（IRS具有恒模约束）：

利用F范数的定义，可以转化为以下向量乘积的等价形式

进一步转化为以下的QCQP问题：

关于这里的恒模约束，可以采用取相位的方式解决。

三、总结

本文只对SDR进行了一个简单的介绍，目前我接触到的场景主要在于IRS的设计和发端的波束成形。但实际上如果可以把一个问题转化为QCQP形式，那么理论上都可以借助SDR进行求解。本文只是一个粗浅的认识，后续仍有很多内容需要补充：SDR的拉格朗日解释、高斯随机化过程的应用、计算复杂度和性能分析。

第一次写文，继续加油吧。

参考文献：

[1] LUO Z Q, MA W K, SO A M C, et al. Semidefinite relaxation of quadratic optimization problems[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2010, 27(3):20-34.

[2] arXiv:2106.00890v1 [eess.SP] 2 Jun 2021

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