【回溯算法】旅行商问题--TSP问题

【问题描述】

一销售商从n个城市中的某一城市出发，不重复地走完其余n—1个城市并回到原出发点，在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条。本题假定该旅行商从第1个城市出发。

输入

对每个测试例，第1行有两个整数：n(4≤n≤10)和m(4≤m≤20 ) ，n是结点数，m是边数。

接下来m行，描述边的关系，每行3个整数：(i，j)，length，表示结点i到结点j的长度是length。

当n＝0时，表示输入结束。

输出

对每个测试例，输出最短路径长度所经历的结点，最短的长度。

输入样例

4 6

1 2 20

1 4 4

1 3 6

2 3 5

2 4 10

3 4 15

输出样例

1 3 2 4

【算法分析】

旅行商问题的解空间是一棵排列树。开始时，x＝｛1，2，…，n｝，相应的排列树由x的全排列构成。

TSP问题(Traveling Salesman Problem)通常称为旅行商问题，也称为旅行售货员问题、货担郎问题等，是组合优化中的著名难题，也是计算复杂性理论、图论、运筹学、最优化理论等领域中的一个经典问题，具有广泛的应用背景。

问题的一般描述为：旅行商从n个城市中的某一城市出发，经过每个城市仅有一次，最后回到原出发点，在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条。

设G=(V, E)是一个带权图，其每一条边(u, v)∈E的费用（权）为正数w(u, v)。目的是要找出G的一条经过每个顶点一次且仅经过一次的回路，即汉密尔顿（Hamilton）回路v1，v2 ，…，vn ，使回路的总权值最小：

【代码部分】

//旅行商问题回溯算法的数据结构#define NUM 100
int n;              //图G的顶点数量
int m;              //图G的边数
int a[NUM][NUM];        //图G的邻接矩阵
int x[NUM];         //当前解
int bestx[NUM];     //当前最优解向量
int cc;             //当前费用
int bestc;          //当前最优值
int NoEdge = -1;       //无边标记

//在构造邻接矩阵a时，其初始值应为NoEdge：
for (i=0; i<NUM; i++)for (j=1; j<NUM; j++)a[i][j] = NoEdge;//最优值和向量x的初始化数值如下：
bestc = NoEdge;
for(i=1; i<=n; i++)x[i] = i;

//旅行商问题回溯算法的实现
//形参t是回溯的深度，从2开始
void Backtrack(int t)
{//到达叶子结点的父结点if(t==n){if(a[x[n-1]][x[n]]!= NoEdge && a[x[n]][1]!= NoEdge && (cc + a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]<bestc||bestc== NoEdge)){for(int i=1; i<=n; i++)bestx[i] = x[i];bestc = cc + a[x[n-1]][x[n]] + a[x[n]][1];}return;}
else {for(int i=t; i<=n; i++){if(a[x[t-1]][x[i]]!= NoEdge &&(cc + a[x[t-1]][x[i]]< bestc||bestc == NoEdge)){swap(x[t],x[i]);cc += a[x[t-1]][x[t]];Backtrack(t+1);cc -= a[x[t-1]][x[t]];swap(x[t],x[i]);}}}
}

//完整实现
#include <iostream>
using namespace std;#define NUM 100
int n;
int m;
int a[NUM][NUM];
int x[NUM];
int bestx[NUM];
int cc;
int bestc;
int NoEdge = -1;void Backtrack(int t)
{if(t==n){if(a[x[n-1]][x[n]]!= NoEdge && a[x[n]][1]!= NoEdge && (cc + a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]<bestc||bestc== NoEdge)){for(int i=1; i<=n; i++)bestx[i] = x[i];bestc = cc + a[x[n-1]][x[n]] + a[x[n]][1];}return;}else {for(int i=t; i<=n; i++){if(a[x[t-1]][x[i]]!= NoEdge &&(cc + a[x[t-1]][x[i]]< bestc||bestc == NoEdge)) {swap(x[t],x[i]);cc += a[x[t-1]][x[t]];Backtrack(t+1);cc -= a[x[t-1]][x[t]];swap(x[t],x[i]);}}}
}int main()
{int i, j;int from, to, length;while (scanf("%d%d", &n, &m) && n) {for (i=0; i<NUM; i++)for (j=1; j<NUM; j++)a[i][j] = NoEdge;for (i=0; i<m; i++){scanf("%d%d%d", &from, &to, &length);a[from][to] = length;a[to][from] = length;}bestc = NoEdge;for(i=1; i<=n; i++)x[i] = i;Backtrack(2);for(j=1; j<=n; j++)printf("%d ", bestx[j]);printf("\n%d\n", bestc);} return 0;
}