概述

在渲染管线中的顶点变换中，介绍了顶点在各个坐标空间的变换。变换到最后，是屏幕坐标空间。在OpenGL中，屏幕空间坐标的Z值即是深度缓冲中的深度值。深度缓冲包含了一个介于0.0和1.0之间的深度值，它将会与观察者视角所看见的场景中所有物体的z值进行比较。本文将介绍深度值的计算，以及从深度值反向计算出相机空间中的顶点的Z值。

深度值计算

在渲染管线中的顶点变换中，计算得到了透视投影矩阵：
Mpersp=[2nr−l0l+rl−r002nt−bb+tb−t000f+nf−n2nfn−f0010]M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f+n}{f-n} & \frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} Mpersp=⎣⎢⎢⎡r−l2n0000t−b2n00l−rl+rb−tb+tf−nf+n100n−f2nf0⎦⎥⎥⎤
同时，也得到了视口变换矩阵：
Mviewport=[w200w20h20h20012120001]M_{viewport} = \begin{bmatrix} \frac{w}{2} & 0 & 0 & \frac{w}{2} \\ 0 & \frac{h}{2} & 0 & \frac{h}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} Mviewport=⎣⎢⎢⎡2w00002h00002102w2h211⎦⎥⎥⎤
首先，根据透视矩阵，计算NDC空间的Z值。这里，相机空间中的坐标经过透视矩阵变换后，还要进行齐次除法，才能得到NDC空间中的坐标。
(xclipyclipzclipwclip)=Mpersp(xeyeyeyezeyeweye)\begin{pmatrix} x_{clip} \\ y_{clip} \\ z_{clip} \\ w_{clip} \\ \end{pmatrix} = M_{persp} \begin{pmatrix} x_{eye} \\ y_{eye} \\ z_{eye} \\ w_{eye} \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛xclipyclipzclipwclip⎠⎟⎟⎞=Mpersp⎝⎜⎜⎛xeyeyeyezeyeweye⎠⎟⎟⎞

(xndcyndczndc)=(xclipwclipyclipwclipzclipwclip)\begin{pmatrix} x_{ndc} \\ y_{ndc} \\ z_{ndc} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{y_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{z_{clip}}{w_{clip}} \\ \end{pmatrix} ⎝⎛xndcyndczndc⎠⎞=⎝⎜⎛wclipxclipwclipyclipwclipzclip⎠⎟⎞

由此，可以得出：
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{aligned…
根据上述公式，可以得出：
zeye=2nf(f+n)−zndc(f−n)(2)z_{eye} = \frac{2nf}{(f+n)-z_{ndc}(f-n)} \tag{2} zeye=(f+n)−zndc(f−n)2nf(2)
根据视口变换矩阵，可以得出：
zwin=12zndc+12(3)z_{win} = \frac{1}{2}z_{ndc}+\frac{1}{2} \tag{3} zwin=21zndc+21(3)

将(1)\left(1\right)(1)带入(3)\left(3\right)(3)，可以得到：
zwin=12(zndc+1)=12(f+nf−n+−2nfzeye(f−n)+1)=f−nfzeyef−n=1n−1zeye1n−1f\begin{aligned} z_{win} &= \frac{1}{2}(z_{ndc}+1) \\ &=\frac{1}{2}(\frac{f+n}{f-n}+\frac{-2nf}{z_{eye}(f-n)} + 1) \\ &=\frac{f-\frac{nf}{z_{eye}}}{f-n} \\ &= \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \end{aligned} zwin=21(zndc+1)=21(f−nf+n+zeye(f−n)−2nf+1)=f−nf−zeyenf=n1−f1n1−zeye1

即：
zwin=1n−1zeye1n−1f(4)z_{win} = \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \tag{4} zwin=n1−f1n1−zeye1(4)

到这一步，即可以求得屏幕空间中的深度。

在Learn OpenGL CN学习过的，可能对深度测试这一节的内容有些印象。它得到的深度值的公式是：
Fdepth=1/z−1/near1/far−1/nearF_{depth} = \frac{1/z - 1/near}{1/far - 1/near} Fdepth=1/far−1/near1/z−1/near
跟(4)\left(4\right)(4)式对比，发现有些不一样，这是怎么回事呢？

这里要注意，本文定义的nnn、fff和zeyez_{eye}zeye是实际的坐标值，是负的。而深度测试文中，定义的nearnearnear、farfarfar代表了近平面和远平面，而zzz代表了近、远平面之间的值，它们都是正的。将n=−nearn=-nearn=−near、f=−farf=-farf=−far、zeye=−zz_{eye}=-zzeye=−z代入(4)\left(4\right)(4)式，可得：
Fdepth=zwin=1n−1zeye1n−1f=1−near−1−z1−near−1−far=1z−1near1far−1near\begin{aligned} F_{depth} &= z_{win} \\ &= \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \\ &= \frac{\frac{1}{-near}-\frac{1}{-z}}{\frac{1}{-near}-\frac{1}{-far}} \\ &= \frac{\frac{1}{z}-\frac{1}{near}}{\frac{1}{far}-\frac{1}{near}} \end{aligned} Fdepth=zwin=n1−f1n1−zeye1=−near1−−far1−near1−−z1=far1−near1z1−near1

深度值的线性可视化

经过上面的推导，我们得出了深度值的计算公式。

现在，反过来，我们知道了屏幕空间中的深度值，怎么求出相机空间中的深度值呢？

首先，根据(3)\left(3\right)(3)，可以推导出：
zndc=2zwin−1z_{ndc} = 2z_{win}-1 zndc=2zwin−1
对于公式2，得出的是实际坐标的ZZZ值。为了和OpenGL中的定义统一，也将nearnearnear、farfarfar和zzz代入公式(2)\left(2\right)(2)，可以得到：
zeye=2(−near)(−far)((−far)+(−near))−zndc((−far)−(−near))=2nearfar−(far+near)−zndc(near−far)(5)\begin{aligned} z_{eye} &= \frac{2(-near)(-far)}{((-far)+(-near))-z_{ndc}((-far)-(-near))} \\ &= \frac{2nearfar}{-(far+near)-z_{ndc}(near-far)} \\ \end{aligned} \tag{5} zeye=((−far)+(−near))−zndc((−far)−(−near))2(−near)(−far)=−(far+near)−zndc(near−far)2nearfar(5)
在深度测试这一节中，得出的公式是：
floatlinearDepth=(2.0∗near∗far)/(far+near−z∗(far−near));float \quad linearDepth = (2.0 * near * far) / (far + near - z * (far - near)); floatlinearDepth=(2.0∗near∗far)/(far+near−z∗(far−near));
对比发现，跟公式(5)\left(5\right)(5)有些不一样。这是因为，linearDepthlinearDepthlinearDepth求出的是顶点距离相机的距离，是正值。而zeyez_{eye}zeye是顶点的实际坐标，是负值，将zeyez_{eye}zeye取反，即可得到linearDepthlinearDepthlinearDepth。
linearDepth=−zeye=2nearfar(far+near)−zndc(far−near)\begin{aligned} linearDepth &= -z_{eye} \\ &= \frac{2nearfar}{(far+near)-z_{ndc}(far-near)} \end{aligned} linearDepth=−zeye=(far+near)−zndc(far−near)2nearfar
至此，推导完成。

参考

[1] 深度测试
[2] 渲染管线中的顶点变换

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