数学分析笔记10：函数项级数

函数项级数的概念

函数列与函数项级数

级数是一种重要的扩展函数类的手段，利用级数，我们可以表示一些没有解析表达式的函数。当然，级数是用数列极限的方式定义的，我们也可以用数列极限的方式来扩展函数类。
假设{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是定义在区间III的一列函数，对于每一个x∈Ix\in Ix∈I，{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}就成了实数列，如果对于每个x∈Ix\in Ix∈I，{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}都收敛，其极限记为f(x)f(x)f(x)，这样，f(x)f(x)f(x)是一个函数，只不过是以极限方式定义的，我们称f(x)f(x)f(x)为极限函数。
定义10.1 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是定义在区间III的一列函数，对于每一个x∈Ix\in Ix∈I，极限\lim⁡n→∞fn(x)\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}limn→∞fn(x)存在，称{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}在区间III上逐点收敛，记f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x)=\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}f(x)=n→∞limfn(x)f(x)f(x)f(x)称为{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}在区间III的极限函数

有函数列极限函数，必然就有函数项级数：
定义10.2 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是定义在区间III的一列函数，对于每一个x∈Ix\in Ix∈I，级数∑n=1∞fn(x)\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}∑n=1∞fn(x)收敛，称函数项级数∑n=1∞fn(x)\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}∑n=1∞fn(x)在区间III上逐点收敛，函数S(x)=∑n=1∞fn(x)S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}S(x)=n=1∑∞fn(x)称为{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是定义在区间III上的和函数

这样，我们就可以利用数列极限得到更广阔的一类函数。
例10.1 {xn}\{x^n\}{xn}在开区间(−1,1)(-1,1)(−1,1)上的极限函数为f(x)=0f(x)= 0f(x)=0
例10.2 函数项级数∑n=1∞xn\sum_{n=1}^\infty{x^n}∑n=1∞xn在(−1,1)(-1,1)(−1,1)上逐点收敛，和函数为S(x)=x1−xS(x)=\frac{x}{1-x}S(x)=1−xx
例10.3 函数项级数∑n=1∞1nx\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^x}}∑n=1∞nx1在(1,+∞)(1,+\infty)(1,+∞)上逐点收敛，然而，其和函数没有解析表达式

一致收敛的定义

我们更关心的一个问题是：通过这样构造的函数具有何种性质。
例10.4 fn(x)=xnf_n(x)=x^nfn(x)=xn在(−1,1](-1,1](−1,1]上逐点收敛，极限函数为f(x)={0−1<x<11x=1f(x)= \begin{cases} 0 & -1<x<1\\ 1 & x=1 \end{cases} f(x)={01−1<x<1x=1每一个fn(x)f_n(x)fn(x)都是(−1,1](-1,1](−1,1]上的连续函数，然而极限函数却不是。
实际上，如果fn(x)f_n(x)fn(x)在x0x_0x0处连续，f(x)f(x)f(x)也在x0x_0x0处连续，用极限的语言表示，就是：
lim⁡x→x0lim⁡n→∞fn(x0)=lim⁡n→∞lim⁡x→x0fn(x)\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}f_n(x_0) = \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}{f_n(x)}x→x0limn→∞limfn(x0)=n→∞limx→x0limfn(x)也就是两个极限过程可以交换顺序。类似的，还有积分号、求导号和函数列极限号能否交换顺序的问题。当然，从例10.4也可以看出，两个极限号不总是可交换的。但是，如果我们考虑更强的一种收敛性的时候，两种极限过程，就可以交换，这个极限过程就是一致收敛。
先来解释何谓“一致”：
函数列{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}在区间III上是逐点收敛的，但是收敛的速度确是逐点不同的。实际上，考察数列收敛的定义就可以明白这一点：对任意的ε<0\varepsilon<0ε<0，对任意的x∈Ix\in Ix∈I，都存在正整数NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon∣fn(x)−f(x)∣<ε然而，以上定义中的NNN，确是xxx的函数，xxx不同，正整数NNN就不同，这就是所谓收敛的速度。如果{fn}\{f_n\}{fn}收敛的步调一致，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在一个与xxx无关的正整数NNN，对所有的x∈Ix\in Ix∈I，都有∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon∣fn(x)−f(x)∣<ε这就称为是一致收敛。
定义10.3 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是区间III上函数列，如果对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在正整数NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，对区间III上任意一点xxx，都有∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon∣fn(x)−f(x)∣<ε则称{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}在III上一致收敛到函数f(x)f(x)f(x)

对函数项级数也可以定义一致收敛，这里不再赘述。我们举一例感受何谓“一致收敛”。
例10.5 对任意的0<α<10<\alpha<10<α<1，fn(x)=xnf_n(x) = x^nfn(x)=xn在[0,α][0,\alpha][0,α]上一致收敛

证：
对任意的0<α<10<\alpha<10<α<1，由fnf_nfn的单调性∣fn(x)∣=xn≤αn|f_n(x)|=x^n\le \alpha^n ∣fn(x)∣=xn≤αn对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，αn<ε\alpha^n<\varepsilonαn<ε。∣fn(x)∣<ε|f_n(x)|<\varepsilon∣fn(x)∣<ε这就证明了一致收敛。

例10.5 接例10.5，证明fn(x)=xnf_n(x) = x^nfn(x)=xn在[0,1)[0,1)[0,1)上不一致收敛

证：
怎么证明一个函数列不是一致收敛的呢？按照定义，就取点列{xn}\{x_n\}{xn}，取正数ε0>0\varepsilon_0>0ε0>0，如果都有∣fn(xn)−f(xn)∣≥ε0|f_n(x_n)-f(x_n)|\ge \varepsilon_0∣fn(xn)−f(xn)∣≥ε0那么函数列就不是一致收敛的。
实际上，我们知道(1−1n)n(1-\frac{1}{n})^n(1−n1)n是单调递减的，并且lim⁡n→∞(1−1n)n=1e\lim_{n\to\infty}{(1-\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}n→∞lim(1−n1)n=e1这样(1−1n)n≥1e(1-\frac{1}{n})^n\ge \frac{1}{e}(1−n1)n≥e1因而，fn(x)f_n(x)fn(x)在[0,1][0,1][0,1]上不是一致收敛的。

fn(x)f_n(x)fn(x)在大区间[0,1][0,1][0,1]上不是一致收敛的，然而放在较小的区间[0,α][0,\alpha][0,α]上，一致收敛就成立了！我们可以用下图直观地感受这个差别。

如图，实际上，划定一条基准线y=ε0y=\varepsilon_0y=ε0，不论nnn多大，总有点在y=ε0y=\varepsilon_0y=ε0之上，然而，划定一个子区间，在nnn足够大时，fn(x)f_n(x)fn(x)就一定会落在y=ε0y=\varepsilon_0y=ε0的下方，这就是为什么取子区间[0,α][0,\alpha][0,α],fn(x)f_n(x)fn(x)可以一致收敛，一旦放在[0,1)[0,1)[0,1)上，一致收敛就不成立。
我们也可以如此理解，如果{fn}\{f_n\}{fn}在区间III上一致收敛，极限函数为f(x)f(x)f(x)，那么，nnn足够大时，fnf_nfn一定落在f−εf-\varepsilonf−ε和f+εf+\varepsilonf+ε之间的一条带上。

这样，nnn足够大时，fnf_nfn与fff可以近似认为整体上“差别很小”，那么fnf_nfn的性质就能整体传递到fff上。所以，一致收敛的条件下，极限函数有着非常好的性质。当然，这里我们只是给了一个直观的认识，并没有给出定理的论述和严格证明。我们将在第三部分完成这一点。

一致收敛的判定

M判别法

一致收敛非常重要，但紧接着就要有判定一致收敛的方法。实际上，一致收敛也有所谓的比较判别法，即是所谓的魏尔斯特拉斯判别法，简称M判别法。当然，在证明M判别法之前，我们要给出一致收敛的柯西准则：
定理10.1(一致收敛的柯西准则) 区间III上的函数列{fn}\{f_n\}{fn}上一致收敛的充分必要条件是：对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在正整数NNN，当n≥Nn\ge Nn≥N时，对任意的x∈Ix\in Ix∈I，都有∣fn(x)−fm(x)∣<ε|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon∣fn(x)−fm(x)∣<ε

证：
充分性：如果对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在正整数NNN，当n≥Nn\ge Nn≥N时，对任意的x∈Ix\in Ix∈I，都有∣fn(x)−fm(x)∣<ε|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon∣fn(x)−fm(x)∣<ε那么由数列收敛的柯西准则，fn(x)f_n(x)fn(x)在III上是逐点收敛的，设极限函数为f(x)f(x)f(x)，可取子列{fnk(x)}\{f_{n_k}(x)\}{fnk(x)}，对任意的x∈Ix\in Ix∈I，都有∣fnk+1(x)−fnk(x)∣<12k|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<\frac{1}{2^k}∣fnk+1(x)−fnk(x)∣<2k1有fnk(x)=fn1(x)+∑i=1k−1(fni+1(x)−fni(x))f_{n_k}(x)=f_{n_1}(x)+\sum_{i=1}^{k-1}{(f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x))}fnk(x)=fn1(x)+∑i=1k−1(fni+1(x)−fni(x))，于是fn1(x)+∑i=1∞(fni+1(x)−fni(x))=f(x)f_{n_1}(x)+\sum_{i=1}^{\infty}{(f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x))} = f(x)fn1(x)+i=1∑∞(fni+1(x)−fni(x))=f(x)∣f(x)−fnk(x)∣≤∑i=k∞∣fni+1(x)−fni(x)∣≤∑i=k∞12i=12k−1|f(x)-f_{n_k}(x)|\le \sum_{i=k}^{\infty}{|f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x)|} \le \sum_{i=k}^{\infty}{\frac{1}{2^i}}=\frac{1}{2^{k-1}}∣f(x)−fnk(x)∣≤i=k∑∞∣fni+1(x)−fni(x)∣≤i=k∑∞2i1=2k−11这样，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在NNN,n,m≥Nn,m\ge Nn,m≥N时，对任意的x∈Ix\in Ix∈I，都有∣fn(x)−fm(x)∣<ε2|f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\varepsilon}{2}∣fn(x)−fm(x)∣<2ε又存在KKK,nK≥Nn_K\ge NnK≥N，同时对任意的x∈Ix\in Ix∈I，有∣fnK(x)−f(x)∣<ε2|f_{n_K}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}∣fnK(x)−f(x)∣<2ε再由三角不等式∣fn(x)−f(x)∣≤∣fn(x)−fnK(x)∣+∣fnK(x)−f(x)∣<ε|f_n(x)-f(x)|\le |f_n(x)-f_{n_K}(x)|+|f_{n_K}(x)-f(x)|<\varepsilon∣fn(x)−f(x)∣≤∣fn(x)−fnK(x)∣+∣fnK(x)−f(x)∣<ε
必要性：如果{fn}\{f_n\}{fn}一致收敛到fff，那么对任意的正数ε>0\varepsilon>0ε>0，存在NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，对任意的x∈Ix\in Ix∈I，都有∣fn(x)−f(x)∣<ε2|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}∣fn(x)−f(x)∣<2ε对任意的n,m≥Nn,m\ge Nn,m≥N，就有∣fn(x)−fm(x)∣≤∣fn(x)−f(x)∣+∣fm(x)−f(x)∣<ε|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n(x)-f(x)|+|f_m(x)-f(x)|<\varepsilon∣fn(x)−fm(x)∣≤∣fn(x)−f(x)∣+∣fm(x)−f(x)∣<ε

定理10.2(M判别法) {fn}\{f_n\}{fn}是区间III上的函数列，如果存在正数列{xn}\{x_n\}{xn}，对任意的nnn，对任意的x∈Ix\in Ix∈I，都有∣f(x)∣≤xn|f(x)|\le x_n∣f(x)∣≤xn同时正项级数∑n=1∞xn\sum_{n=1}^\infty{x_n}∑n=1∞xn收敛，则函数项级数∑n=1∞fn(x)\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}∑n=1∞fn(x)在III上一致收敛
利用柯西准则很容易证明该定理，这里就省略具体的证明过程。

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

如果找不到基准级数，就只能借助柯西准则判定一致收敛。同数项级数的情形，我们也可以给出函数项级数的判定方法。
定理10.3(狄利克雷判别法) {fn}\{f_n\}{fn}和{gn}\{g_n\}{gn}是区间III上的两个函数列，如果：
(1)对任意的x∈Ix\in Ix∈I，{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是单调数列，并且{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}在III上一致收敛到0
(2)(一致有界)存在正数M>0M>0M>0，对任意的nnn及x∈Ix\in Ix∈I，都有∣∑k=1ngk(x)∣≤M|\sum_{k=1}^{n}{g_k(x)}|\le M∣k=1∑ngk(x)∣≤M则{fn(x)gn(x)}\{f_n(x)g_n(x)\}{fn(x)gn(x)}在III上一致收敛

定理10.4(阿贝尔判别法) {fn}\{f_n\}{fn}和{gn}\{g_n\}{gn}是区间III上的两个函数列，如果：
(1)对任意的x∈Ix\in Ix∈I，{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是单调数列，并且存在M>0M>0M>0，对任意的nnn及x∈Ix\in Ix∈I，∣fn(x)∣≤M|f_n(x)|\le M∣fn(x)∣≤M
(2)函数项级数∑n=1∞gn(x)\sum_{n=1}^\infty{g_n(x)}∑n=1∞gn(x)在III上一致收敛
则{fn(x)gn(x)}\{f_n(x)g_n(x)\}{fn(x)gn(x)}在III上一致收敛
证明和数项级数是类似的，这里就省略具体的证明过程。

一致收敛的性质

连续性

定理10.5 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}在III上一致收敛到f(x)f(x)f(x)，x0∈Ix_0\in Ix0∈I，如果对每一个nnnlim⁡x→x0fn(x)=xn\lim_{x\to x_0}{f_n(x)} = x_nx→x0limfn(x)=xn并且{xn}\{x_n\}{xn}收敛到yyy，那么lim⁡x→x0f(x)=y\lim_{x\to x_0}{f(x)} = yx→x0limf(x)=y
用两个极限过程来解释就是：lim⁡x→x0lim⁡n→∞fn(x)=lim⁡n→∞lim⁡x→x0fn(x)\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}{f_n(x)}x→x0limn→∞limfn(x)=n→∞limx→x0limfn(x)也就两个极限号可交换，下面我们来证明该定理：

证：
对任意的正数ε>0\varepsilon>0ε>0，存在正整数N1N_1N1，n≥N1n\ge N_1n≥N1，对任意的x∈Ix\in Ix∈I∣fn(x)−f(x)∣<ε3|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3} ∣fn(x)−f(x)∣<3ε又存在正整数N2N_2N2，n≥N2n\ge N_2n≥N2时∣xn−y∣<ε3|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{3} ∣xn−y∣<3ε取定一个n≥max⁡(N1,N2)n\ge \max(N_1,N_2)n≥max(N1,N2)，存在δ>0\delta>0δ>0，0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0∣<δ时∣fn(x)−xn∣<ε3|f_n(x)-x_n|<\frac{\varepsilon}{3} ∣fn(x)−xn∣<3ε这样∣f(x)−y∣≤∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−xn∣+∣xn−y∣<ε|f(x)-y|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-x_n|+|x_n-y| <\varepsilon∣f(x)−y∣≤∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−xn∣+∣xn−y∣<ε

推论10.1 {fn}\{f_n\}{fn}是区间III上的连续函数列，且在III上一致收敛到f(x)f(x)f(x)，则f(x)f(x)f(x)在III上连续
这说明了，在一致收敛的情况下，连续性可以传递到极限函数上。
推论10.2 {fn}\{f_n\}{fn}是区间III上的连续函数列，并且函数项级数S(x)=∑n=1∞fn(x)S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}S(x)=∑n=1∞fn(x)在III上一致收敛，则S(x)S(x)S(x)是III上的连续函数

积分与极限号的交换

定理10.6 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}在[a,b][a,b][a,b]上一致收敛到f(x)f(x)f(x)，对任意的nnn，fn(x)f_n(x)fn(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，并且lim⁡n→∞∫abfn(x)dx=∫abf(x)dx\lim_{n\to\infty}{\int_a^b{f_n(x)dx}}=\int_a^b{f(x)dx}n→∞lim∫abfn(x)dx=∫abf(x)dx

如果用极限的语言表达就是lim⁡n→∞∫abfn(x)dx=∫ablim⁡n→∞fn(x)dx\lim_{n\to\infty}{\int_a^b{f_n(x)dx}}=\int_a^b{\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}dx}n→∞lim∫abfn(x)dx=∫abn→∞limfn(x)dx
也就是积分号和极限号可交换。

证：
分两步证明：
第一，先证明可积性，再证明积分和极限号可交换。
先考察极限函数的振幅，对任意的闭区间[a,b][a,b][a,b]的两点x1,x2x_1,x_2x1,x2 ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−fn(x1)∣+∣fn(x1)−fn(x2)∣+∣fn(x2)−f(x2)∣(1)\tag{1} |f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x_1)-f_n(x_1)|+|f_n(x_1)-f_n(x_2)| +|f_n(x_2)-f(x_2)| ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−fn(x1)∣+∣fn(x1)−fn(x2)∣+∣fn(x2)−f(x2)∣(1)对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，对任意的x∈[a,b]x\in [a,b]x∈[a,b]，都有∣fn(x)−f(x)∣<ε3(b−a)(2)\tag{2} |f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)} ∣fn(x)−f(x)∣<3(b−a)ε(2)取定一个nnn，由fn(x)f_n(x)fn(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积，存在分划Δ\DeltaΔΔ:a=x0<x1<⋯<xn=n\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=nΔ:a=x0<x1<⋯<xn=n在Δ\DeltaΔ上的振幅和∑k=1nωk(xk−xk−1)<ε3\sum_{k=1}^n{\omega_k(x_k-x_{k-1})}<\frac{\varepsilon}{3}k=1∑nωk(xk−xk−1)<3ε对该分划，由(\ref{eq1})，对任意的x,y∈[xk−1,xk]x,y\in[x_{k-1},x_k]x,y∈[xk−1,xk]，都有∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−fn(y)∣+∣fn(y)−f(y)∣<2ε3(b−a)+ωk(3)\tag{3} |f(x)-f(y)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)| +|f_n(y)-f(y)|\\ <\frac{2\varepsilon}{3(b-a)}+\omega_k ∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−fn(y)∣+∣fn(y)−f(y)∣<3(b−a)2ε+ωk(3)由(3)，设ωk′\omega^\prime_kωk′是f(x)f(x)f(x)在[xk−1,xk][x_{k-1},x_k][xk−1,xk]上的振幅，就有ωk′≤2ε3(b−a)+ωk(4)\tag{4} \omega^\prime_k \le \frac{2\varepsilon}{3(b-a)}+\omega_k ωk′≤3(b−a)2ε+ωk(4)由(4)，就有∑k=1nωk′(xk−xk−1)≤2ε3+∑k=1nωk(xk−xk−1)<ε(5)\tag{5} \sum_{k=1}^n{\omega^\prime_k(x_k-x_{k-1})} \le \frac{2\varepsilon}{3} +\sum_{k=1}^n{\omega_k(x_k-x_{k-1})} <\varepsilon k=1∑nωk′(xk−xk−1)≤32ε+k=1∑nωk(xk−xk−1)<ε(5)由达布定理，f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可积
第二，证明积分和极限号可交换：∣∫abfn(x)dx−∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)−fn(x)∣dx|\int_a^b{f_n(x)dx}-\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)-f_n(x)|dx} ∣∫abfn(x)dx−∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)−fn(x)∣dx对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，对任意的x∈[a,b]x\in [a,b]x∈[a,b]，都有∣fn(x)−f(x)∣<ε(b−a)|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{(b-a)} ∣fn(x)−f(x)∣<(b−a)ε此时∫ab∣f(x)−fn(x)∣dx≤ε\int_a^b{|f(x)-f_n(x)|dx} \le \varepsilon ∫ab∣f(x)−fn(x)∣dx≤ε这就证明了积分号和极限号可交换

推论10.3 函数列{fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是闭区间[a,b][a,b][a,b]上的可积函数列，并且函数项级数S(x)=∑n=1∞fn(x)S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}S(x)=∑n=1∞fn(x)在[a,b][a,b][a,b]上一致收敛，则和函数S(x)S(x)S(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上可积，并且∫abS(x)dx=∑n=1∞fn(x)dx\int_a^b{S(x)dx} = \sum_{n=1}^\infty{f_n(x)dx}∫abS(x)dx=n=1∑∞fn(x)dx

导数与极限号的交换

定理10.7 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是区间[a,b][a,b][a,b]上的可导函数列，逐点收敛到f(x)f(x)f(x)并且导函数列{fn′(x)}\{f^\prime_n(x)\}{fn′(x)}在区间[a,b][a,b][a,b]上一致收敛到σ(x)\sigma(x)σ(x)，则
(1)fn(x)f_n(x)fn(x)在[a,b][a,b][a,b]上一致收敛到f(x)f(x)f(x)
(2)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上可导，并且f′(x)=σ(x)∀x∈[a,b]f^\prime(x)=\sigma(x)\quad \forall x \in [a,b]f′(x)=σ(x)∀x∈[a,b]

证：
第一，我们证明{fn}\{f_n\}{fn}在[a,b][a,b][a,b]上一致收敛，用柯西准则证明
任取x0∈(a,b)x_0\in(a,b)x0∈(a,b)，由拉格朗日中值定理，对任意的x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b]∣fn(x)−fm(x)∣≤∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣=∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣∣x−x0∣∣≤∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣(b−a)|f_n(x)-f_m(x)|\\ \le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+||f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|\\ =|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+|f^\prime_n(\xi)-f^\prime_m(\xi)||x-x_0||\\ \le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+|f^\prime_n(\xi)-f^\prime_m(\xi)|(b-a) ∣fn(x)−fm(x)∣≤∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣=∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣∣x−x0∣∣≤∣fn(x0)−fm(x0)∣+∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣(b−a)其中ξ\xiξ介于x,x0x,x_0x,x0之间，由{fn′(x)}\{f^\prime_n(x)\}{fn′(x)}在区间[a,b][a,b][a,b]上一致收敛，由柯西准则，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在N1N_1N1,n,m≥N1n,m\ge N_1n,m≥N1时，对任意的x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b]，都有∣fn′(x)−fm′(x)∣<ε2(b−a)|f^\prime_n(x)-f^\prime_m(x)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}∣fn′(x)−fm′(x)∣<2(b−a)ε又由{fn}\{f_n\}{fn}在[a,b][a,b][a,b]上逐点收敛到f(x)f(x)f(x)，存在N2N_2N2，n,m≥N2n,m\ge N_2n,m≥N2时，都有∣fn(x0)−fm(x0)∣<ε2|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}∣fn(x0)−fm(x0)∣<2ε即n,m≥max⁡(N1,N2)n,m\ge\max(N_1,N_2)n,m≥max(N1,N2)时，有∣fn(x)−fm(x)∣<ε∀x∈[a,b]|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\quad \forall x \in [a,b] ∣fn(x)−fm(x)∣<ε∀x∈[a,b]由柯西准则{fn}\{f_n\}{fn}在[a,b][a,b][a,b]上一致收敛到f(x)f(x)f(x)
第二步，证明求导和极限可交换：
任取x0∈[a,b]x_0\in[a,b]x0∈[a,b]，令hn(x)=fn(x)−fn(x0)x−x0(x≠x0)h_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}(x\neq x_0)hn(x)=x−x0fn(x)−fn(x0)(x=x0)，hn(x0)=fn′(x0)h_n(x_0)=f^\prime_n(x_0)hn(x0)=fn′(x0)，则hn(x)h_n(x)hn(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续。再令h(x)=f(x)−f(x0)x−x0(x≠x0)h(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x\neq x_0)h(x)=x−x0f(x)−f(x0)(x=x0)，h(x0)=σ(x0)h(x_0)=\sigma(x_0)h(x0)=σ(x0)，当然，hn(x)h_n(x)hn(x)在[a,b][a,b][a,b]上逐点收敛到h(x)h(x)h(x)，下面证明hn(x)h_n(x)hn(x)在[a,b][a,b][a,b]上一致收敛到h(x)h(x)h(x)：
由拉格朗日中值定理，存在介于x,x0x,x_0x,x0之间的ξ\xiξ，满足∣hn(x)−hm(x)∣=∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣∣x−x0∣=∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣|h_n(x)-h_m(x)|=\frac{|f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|}{|x-x_0|}\\ =|f_n^\prime(\xi)-f_m^\prime(\xi)| ∣hn(x)−hm(x)∣=∣x−x0∣∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣=∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣由柯西准则，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在NNN,n,m≥Nn,m\ge Nn,m≥N时,对任意的x∈[a,b]x\in [a,b]x∈[a,b]，都有∣fn′(x)−fm′(x)∣<ε|f_n^\prime(x)-f_m^\prime(x)|<\varepsilon ∣fn′(x)−fm′(x)∣<ε从而∣hn(x)−hm(x)∣=∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣∣x−x0∣=∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣<ε|h_n(x)-h_m(x)|=\frac{|f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|}{|x-x_0|}\\ =|f_n^\prime(\xi)-f_m^\prime(\xi)|<\varepsilon ∣hn(x)−hm(x)∣=∣x−x0∣∣fn(x)−fm(x)−(fn(x0)−fm(x0))∣=∣fn′(ξ)−fm′(ξ)∣<ε由柯西准则，{hn}\{h_n\}{hn}逐点收敛到hhh，再由{hn}\{h_n\}{hn}的连续性，hhh在[a,b][a,b][a,b]上是连续的，从而，fff在x0x_0x0处可导，导数为σ(x0)\sigma(x_0)σ(x0)

推论10.4 {fn(x)}\{f_n(x)\}{fn(x)}是区间[a,b][a,b][a,b]上的可导函数列，级数S(x)=∑n=1∞fn(x)S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}S(x)=∑n=1∞fn(x)在[a,b][a,b][a,b]上逐点收敛并且级数∑n=1∞fn′(x)\sum_{n=1}^\infty{f^\prime_n(x)}∑n=1∞fn′(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上一致收敛到σ(x)\sigma(x)σ(x)，则
(1)级数S(x)=∑n=1∞fn(x)S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}S(x)=∑n=1∞fn(x)在[a,b][a,b][a,b]上逐点收敛
(2)S(x)S(x)S(x)在[a,b][a,b][a,b]上可导，并且S′(x)=σ(x)S^\prime(x)=\sigma(x)S′(x)=σ(x)