数值分析——曲线拟合的最小二乘法
文章目录
- 一、曲线拟合的最小二乘原理
- 1. 超定方程组的最小二乘解
- 解题方法:
- 2. 直线拟合
- 3. 多项式拟合
一、曲线拟合的最小二乘原理
拟合曲线定义:求近似函数 φ(x), 使之 “最好” 的逼近f(x) ,无需满足插值原则.
这就是曲线拟合问题。
(时间紧迫直接看例子就行,智慧交通专业的补修课,可能理论学的不那么深入,主要是方法。)
1. 超定方程组的最小二乘解
超定方程组是指方程个数大于未知量个数的方程组 。
最小二乘解: 对于方程组:Ax = b
如果有向量x使得 :达到最小,则称x是该方程组的最小二乘解。
解题方法:
直接看例子:
上面法方程组的解,也就是超定方程组的最小二乘解。
解析:实际上是求拟合曲线φ(x)的参数a,b;将原问题转化为求法方程组的问题。
2. 直线拟合
例子在后面
3. 多项式拟合
求解过程与上面类似,因为其A(T)A 系数矩阵有一定的规律性,因此单独拿出来记忆。
A(T)A的特点:
- n : 有n组实例数据表,n个方程组, i 的范围是1-n
- m :φ(x)有 m 个待求系数,并且A(T)A 是m × m规格的矩阵
- A(T)A :是对称矩阵
- 直线拟合的矩阵其实就是多项式拟合的左上角2 × 2的部分
上栗子!
多项式拟合例子
直线拟合例子
下面给出一次拟合多项式的步骤:
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