Clark变换及比例系数2/3推导过程

Clark变换

由于异步电动机三相原始动态模型相当复杂，分解和求解这组非线性方程十分困难，在实际应用中必须予以简化，简化的基本思路就是将复杂的问题分解成一个一个简单易处理的问题，将复杂的三相坐标系转换成易理解的两相坐标系。

如图1中所示，当三相绕组和两相绕组产生的旋转磁动势大小和转速都相等时，我们认为两相绕组与三相绕组等效，这就是Clark变换由来。

图1 三相坐标系转两相坐标系模型

标准三相电压Ua、Ub、Uc在空间上互差120 ̊ ，假设Vm为相电压峰值，

Ua = Vm*cos(θ)

Ub = Vm*cos(θ-2π/3) （1-1）

Uc = Vm*cos(θ+2π/3)

且 Ua+Ub+Uc = 0

其中θ = 2πƒt,则三相电压空间矢量相加的合成空间矢量Ut就可以表示为：

（1-2）

可见合成的等效矢量Ut的幅值为相电压峰值的1.5倍，

如上图所示，将a,b,c三轴电压矢量投影到α,β轴上可得

Uα = Ua-Ub* cos(π/3)-Uc* cos(π/3)

Uβ = Ub*sin(π/3)-Uc* sin(π/3)

转换成矩阵如下式，其中系数K为三相变两相比例系数，

（1-3）

由式1-2可知当K =2/3 时,转换前后幅值相等为等幅值转换。

将K=2/3 及Uc=-Ua-Ub代入式1-3中可得：

$\left\{\begin{matrix} U\alpha &= &Ua \\ U\beta &= &\frac{1}{\sqrt{3}}(Ua+2Ub) \end{matrix}\right.$

当K = $\sqrt{2/3}$ 时为等功率转换，K = $\sqrt{2/3}$ 的推导过程如下，

总结：实际FOC设计中我们一般采用等幅值变换，因为在svpwm设计中假如采用等功率变换，得到的矢量Ut为相电压峰值的1.5倍，将会超出空间矢量的圆圈，产生过调制。

Park变换及Park逆变换推导见下一篇：Park变换及Park逆变换_Wolf的专栏-CSDN博客_park变换

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