文章目录

第二章线性算子与线性泛函
- 线性算子的概念
- - 定义2.1.1 线性算子
  - 定义2.1.8 线性算子的连续性
  - 定义2.1.12 算子的范数
- Riesz定理及其应用
- - 定理2.2.1 F.Riesz
- 纲与开映像定理
- - 定义2.3.1 疏
  - 定义2.3.4 纲集
  - 定理2.3.6 Baire纲定理
  - 定理2.3.7 Banach逆算子定理
  - 定理2.3.8 开映像定理
  - 定义2.3.9 闭线性算子
  - 定理2.3.12 B.L.T
  - 定理2.3.13 等价范数定理
  - 定理2.3.14 闭图像定理
  - 定理2.3.15 共鸣定理
  - 定理2.3.16 Banach-Steinhaus定理
  - 定理2.3.17 Lax-Milgram定理
- Hahn-Banach定理
- - 定理2.4.1 实Hahn-Banach定理
  - 定理2.4.2 复Hahn-Banach定理
  - 定理2.4.4 Hahn-Banach
  - - 推论2.4.6
    - 定理2.4.7
    - 推论2.4.8
  - 定理2.4.14 Hahn-Banach定理的几何形式
  - 定理2.4.16 Ascoli定理
  - 定理2.4.17 Mazur定理
- 共轭空间·弱收敛·自反空间
- - 定义2.5.1 共轭空间
  - 定理2.5.7 第二共轭空间
  - 定义2.5.8 自反的
  - 定义2.5.9 共轭算子
  - 定义2.5.15 弱收敛
  - 定义2.5.19 ∗*∗弱收敛
  - 定义2.5.22 算子的一致极限、强极限、弱极限
  - 定义2.5.25 弱列紧，∗*∗弱列紧
  - 定理2.5.26 Banach
  - 定理2.5.27 Pettis定理
  - 定理2.5.28 Eberlein-Smulian定理
  - 定理2.5.29 Alaoglu定理

第二章线性算子与线性泛函

线性算子的概念

定义2.1.1 线性算子

设X,Y\mathscr{X},\mathscr{Y}X,Y是线性空间，D⊂XD\subset\mathscr{X}D⊂X是线性子空间，若
T:D→YT(αx+βy)=αTx+βTyT:D\to\mathscr{Y}\\T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta T yT:D→YT(αx+βy)=αTx+βTy
则TTT是线性算子

定义2.1.8 线性算子的连续性

TTT连续：xn∈D(T),xn→x0⇒Txn→Tx0x_n\in D(T),x_n\to x_0\Rightarrow Tx_n\to Tx_0xn∈D(T),xn→x0⇒Txn→Tx0
TTT有界：∃M⩾0,∣∣Tx∣∣Y⩾∣∣x∣∣X\exists M\geqslant 0,||Tx||_\mathscr{Y}\geqslant||x||_\mathscr{X}∃M⩾0,∣∣Tx∣∣Y⩾∣∣x∣∣X

TTT连续⇔T\Leftrightarrow T⇔T在θ\thetaθ处连续⇔T\Leftrightarrow T⇔T有界

定义2.1.12 算子的范数

L(X,Y)\mathscr{L(X,Y)}L(X,Y)是一切由X\mathscr{X}X到Y\mathscr{Y}Y的有界线性算子的全体，并规定
∣∣T∣∣=sup⁡x∈X∖{θ}∣∣Tx∣∣∣∣x∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣∣Tx∣∣=sup⁡∣∣x∣∣⩽1∣∣Tx∣∣=sup⁡x<1∣∣Tx∣∣||T||=\sup\limits_{x\in\mathscr{X}\setminus\{\theta\}}\frac{||Tx||}{||x||}=\sup\limits_{||x||=1}||Tx||=\sup\limits_{||x||\leqslant1}||Tx||=\sup\limits_{x<1}||Tx||∣∣T∣∣=x∈X∖{θ}sup∣∣x∣∣∣∣Tx∣∣=∣∣x∣∣=1sup∣∣Tx∣∣=∣∣x∣∣⩽1sup∣∣Tx∣∣=x<1sup∣∣Tx∣∣
为T∈L(X,Y)T\in\mathscr{L(X,Y)}T∈L(X,Y)的范数，特别地用L(X)\mathscr{L(X)}L(X)表示L(X,X)\mathscr{L(X,X)}L(X,X)以及X∗\mathscr{X}^*X∗表示L(X,K)\mathscr{L(X},\mathbb{K})L(X,K)，即X∗\mathscr{X}^*X∗表示X\mathscr{X}X上的线性有界泛函全体。

设X\mathscr{X}X是B∗B^*B∗空间，Y\mathscr{Y}Y是BBB空间，若在L(X,Y)\mathscr{L(X,Y)}L(X,Y)上规定线性运算：
(α1T1+α2T2)(x)=α1T1x+α2T2x(∀x∈X)(\alpha_1T_1+\alpha_2T_2)(x)=\alpha_1T_1x+\alpha_2T_2x\quad(\forall x\in\mathscr{X})(α1T1+α2T2)(x)=α1T1x+α2T2x(∀x∈X)其中α1,α2∈K,T1,T2∈L(X,Y)\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{K}, T_1,T_2\in\mathscr{L(X,Y)}α1,α2∈K,T1,T2∈L(X,Y)，则L(X,Y)\mathscr{L(X,Y)}L(X,Y)按∣∣T∣∣||T||∣∣T∣∣构成一个Banach空间。

例：有穷维的线性映射一定是连续的，可以表示成矩阵

例：设Hilbert空间X\mathscr{X}X的闭线性子空间MMM，则∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X，由正交分解定理，存在唯一的y∈M,z∈M⊥y\in M,z\in M^\perpy∈M,z∈M⊥，使得x=y+zx=y+zx=y+z，对应的x↦yx\mapsto yx↦y称作由X\mathscr{X}X到MMM的正交算子，记做PMP_MPM。可以得到PMP_MPM是连续的线性算子，并且∣∣PM∣∣=1||P_M||=1∣∣PM∣∣=1

Riesz定理及其应用

定理2.2.1 F.Riesz

设fff是Hilbert空间X\mathscr{X}X上的一个连续线性泛函，则必存在唯一的yf∈Xy_f\in\mathscr{X}yf∈X，使得f(x)=(x,yf)(∀x∈X)f(x)=(x,y_f)\quad(\forall x\in\mathscr{X})f(x)=(x,yf)(∀x∈X)且∣∣f∣∣X∗=∣∣yf∣∣X||f||_{\mathscr{X}^*}=||y_f||_\mathscr{X}∣∣f∣∣X∗=∣∣yf∣∣X。换言之，yyy与连续函数fff等距同构，而且是共轭线性等距同构。

注：这个定理的几何意义如下：线性连续泛函f(x)f(x)f(x)的等值面都是相互平行的超平面，因此每个向量xxx的泛函值f(x)f(x)f(x)应由xxx的垂直于这些等值面的分量所决定。

类似地，设X\mathscr{X}X是一个Hilbert空间，a(x,y)a(x,y)a(x,y)是X∣\mathscr{X}|X∣上的共轭双线性函数，并∃M>0\exist M>0∃M>0，使得对∀x,y∈X,∣a(x,y)∣⩽M∣∣x∣∣∣∣y∣∣\forall x,y\in\mathscr{X},|a(x,y)|\leqslant M||x||||y||∀x,y∈X,∣a(x,y)∣⩽M∣∣x∣∣∣∣y∣∣，则存在唯一的A∈L(X)A\in\mathscr{L(X)}A∈L(X)，使得a(x,y)=(x,Ay)a(x,y)=(x,Ay)a(x,y)=(x,Ay)，且∣∣A∣∣=sup⁡(x,y)∈X×X,x≠θ,y≠θ∣a(x,y)∣∣x∣∣∣∣y∣∣∣=sup⁡(x,y)∈X×X,x=1,y=1∣a(x,y)∣||A||=\sup\limits_{(x,y)\in\mathscr{X\times X},\atop x\neq\theta,y\neq\theta}|\frac{a(x,y)}{||x||||y||}|=\sup\limits_{(x,y)\in\mathscr{X\times X},\atop x=1,y=1}|a(x,y)|∣∣A∣∣=x=θ,y=θ(x,y)∈X×X,sup∣∣∣x∣∣∣∣y∣∣a(x,y)∣=x=1,y=1(x,y)∈X×X,sup∣a(x,y)∣

纲与开映像定理

定义2.3.1 疏

设(X,ρ)(\mathscr{X},\rho)(X,ρ)是一个度量空间，集E⊂XE\subset\mathscr{X}E⊂X，如果Eˉ\bar{E}Eˉ是的内点是空的，则称EEE是疏的。

EEE疏⟺∀B(x0,r0),∃B(x1,r1)⊂B(x0,r0)\iff\forall B(x_0,r_0),\exist B(x_1,r_1)\subset B(x_0,r_0)⟺∀B(x0,r0),∃B(x1,r1)⊂B(x0,r0)使得E‾∩B‾(x1,r1)=ϕ\overline{E}\cap\overline B(x_1,r_1)=\phiE∩B(x1,r1)=ϕ【千疮百孔】

定义2.3.4 纲集

第一纲集：E=⋃n=1∞EnE=\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_nE=n=1⋃∞En，其中EnE_nEn是疏集
第二纲集：不是第一纲的集合称为第二纲集

可数点集总是第一纲集

定理2.3.6 Baire纲定理

完备度量空间(X,ρ)(\mathscr{X},\rho)(X,ρ)是第二纲集

由此可以推出，C[0,1]C[0,1]C[0,1]中处处不可微的函数集合EEE是非空的，且EEE的余集是第一纲集。

定理2.3.7 Banach逆算子定理

设X,Y\mathscr{X,Y}X,Y是BBB空间，若T∈L(X,Y)T\in\mathscr{L(X,Y)}T∈L(X,Y)既单又满，则T−1L(Y,X)T^{-1}\mathscr{L(Y,X)}T−1L(Y,X)

定理2.3.8 开映像定理

开映像：T:X→YT:\mathscr{X\to Y}T:X→Y把开集映为开集
开映像定理：设X,Y\mathscr{X,Y}X,Y都是BBB空间，若T∈L(X,Y)T\in\mathscr{L(X,Y)}T∈L(X,Y)是一个满射，则TTT是开映像

注：ddt\frac{d}{dt}dtd在C[0,1]C[0,1]C[0,1]上不是连续的。设xn(t):=sin⁡nπtx_n(t):=\sin n\pi txn(t):=sinnπt，显然∣∣xn∣∣=1||x_n||=1∣∣xn∣∣=1，但∣∣ddtxn(t)∣∣=nπ∣∣cos⁡nπt∣∣=nπ→∞||\frac{d}{dt}x_n(t)||=n\pi||\cos n\pi t||=n\pi\to\infty∣∣dtdxn(t)∣∣=nπ∣∣cosnπt∣∣=nπ→∞

定义2.3.9 闭线性算子

设TTT是X→Y\mathscr{X\to Y}X→Y的线性算子，D(T)D(T)D(T)是定义域。称TTT是闭的，是指
{xn∈D(T)xn→xTxn→y⟹{x∈D(T)y=Tx\begin{cases} x_n \in D(T) \\ x_n \to x \\ Tx_n \to y \end{cases} \implies \begin{cases} x\in D(T) \\ y=Tx \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧xn∈D(T)xn→xTxn→y⟹{x∈D(T)y=Tx
上例中ddt\frac{d}{dt}dtd虽然不连续，但是是闭算子

若X,Y\mathscr{X,Y}X,Y是BBB空间，T:X→YT:\mathscr{X\to Y}T:X→Y是一个闭线性算子满足R(T)R(T)R(T)是Y\mathscr{Y}Y的第二纲集，则R(T)=YR(T)=\mathscr{Y}R(T)=Y且∀ε>0,∃δ=δ(ε)>0,U(θ,δ)⊂T(B(θ,ε)∩D(T))\forall \varepsilon>0,\exist\delta=\delta(\varepsilon)>0,U(\theta,\delta)\subset T(B(\theta,\varepsilon)\cap D(T))∀ε>0,∃δ=δ(ε)>0,U(θ,δ)⊂T(B(θ,ε)∩D(T))，进一步，若TTT单，则T−1∈L(X,Y)T^{-1}\in\mathscr{L(X,Y)}T−1∈L(X,Y)

定理2.3.12 B.L.T

设TTT是B∗B^*B∗空间X\mathscr{X}X到BBB空间Y\mathscr{Y}Y的连续线性算子，那么TTT能唯一地延拓到D(T)‾\overline{D(T)}D(T)上成为连续线性算子T1T_1T1，使得T1∣D(T)=TT_1|_{D(T)}=TT1∣D(T)=T，且∣∣T1∣∣=∣∣T∣∣||T_1||=||T||∣∣T1∣∣=∣∣T∣∣

一般的闭线性算子未必能延拓到D(T)‾\overline{D(T)}D(T)上使其闭。

定理2.3.13 等价范数定理

设线性空间X\mathscr{X}X上有两个模∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1与∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2，如果X\mathscr{X}X关于这两个模都构成BBB空间，且∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2比∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1强，则∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2与∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1必等价。

定理2.3.14 闭图像定理

设X,Y\mathscr{X,Y}X,Y是BBB空间，若TTT是D(T)⊂X→YD(T)\subset\mathscr{X\to Y}D(T)⊂X→Y的闭线性算子，并且D(T)D(T)D(T)是闭的，则TTT是连续的。

这意味着D(T)D(T)D(T)闭时，TTT连续⟺T\iff T⟺T为闭算子

定理2.3.15 共鸣定理

设X\mathscr{X}X是BBB空间，Y\mathscr{Y}Y是B∗B^*B∗空间，如果W⊂L(X,Y)W\subset\mathscr{L(X,Y)}W⊂L(X,Y)，使得sup⁡A∈W∣∣Ax∣∣<∞(∀x∈X)\sup\limits_{A\in W}||Ax||<\infty\quad(\forall x\in\mathscr{X})A∈Wsup∣∣Ax∣∣<∞(∀x∈X)，那么存在常数MMM使得∣∣A∣∣⩽M(∀A∈W)||A||\leqslant M(\forall A\in W)∣∣A∣∣⩽M(∀A∈W)

定理2.3.16 Banach-Steinhaus定理

设X\mathscr{X}X是BBB空间，Y\mathscr{Y}Y是B∗B^*B∗空间，MMM是X\mathscr{X}X的某个稠密子集，若An(n=1,2,⋯),A∈L(X,Y)A_n(n=1,2,\cdots),A\in\mathscr{L(X,Y)}An(n=1,2,⋯),A∈L(X,Y)，则∀x∈X\forall x\in\mathscr{X}∀x∈X都有lim⁡n→∞Anx=Ax\lim\limits_{n\to\infty}A_nx=Axn→∞limAnx=Ax的充要条件是
(1) ∣∣An∣∣||A_n||∣∣An∣∣有界
(2) 极限式对∀x∈M\forall x\in M∀x∈M成立
【对稠成立且一致有界】

定理2.3.17 Lax-Milgram定理

设a(x,y)a(x,y)a(x,y)是Hilbert空间X\mathscr{X}X上的一个共轭双线性函数，满足：
(1) ∃M>0\exist M>0∃M>0，使∣a(x,y)∣⩽M∣∣x∣∣∣∣y∣∣(∀x,y∈X)|a(x,y)|\leqslant M||x||||y||\quad(\forall x,y\in\mathscr{X})∣a(x,y)∣⩽M∣∣x∣∣∣∣y∣∣(∀x,y∈X)
(2) ∃δ>0\exist\delta>0∃δ>0，使∣a(x,x)∣⩾δ∣∣x∣∣2(∀x∈X)|a(x,x)|\geqslant\delta||x||^2\quad(\forall x\in\mathscr{X})∣a(x,x)∣⩾δ∣∣x∣∣2(∀x∈X)
那么必存在唯一有连续逆的连续线性算子A∈L(X)A\in\mathscr{L(X)}A∈L(X)，满足a(x,y)=(x,Ay)(∀x,y∈X),∣∣A−1∣∣⩽1δa(x,y)=(x,Ay)\quad(\forall x,y\in\mathscr{X}),||A^{-1}||\leqslant\frac{1}{\delta}a(x,y)=(x,Ay)(∀x,y∈X),∣∣A−1∣∣⩽δ1

Hahn-Banach定理

定理2.4.1 实Hahn-Banach定理

设X\mathscr{X}X是实线性空间，p(x)p(x)p(x)是定义在X\mathscr{X}X上的次线性泛函，X0\mathscr{X}_0X0是X\mathscr{X}X的实线性子空间，f0f_0f0是X0\mathscr{X}_0X0上的实线性泛函并满足f0(x)⩽p(x)(∀x∈X0)f_0(x)\leqslant p(x)(\forall x\in\mathscr{X}_0)f0(x)⩽p(x)(∀x∈X0)，那么X\mathscr{X}X上必有一个实线性泛函fff满足
(1) f(x)⩽p(x)(∀x∈X)f(x)\leqslant p(x)(\forall x\in\mathscr{X})f(x)⩽p(x)(∀x∈X) 【受ppp控制条件】
(2) f(x)=f0(x)(∀x∈X0)f(x)=f_0(x)(\forall x\in\mathscr{X}_0)f(x)=f0(x)(∀x∈X0) 【延拓条件】

定理2.4.2 复Hahn-Banach定理

设X\mathscr{X}X是复线性空间，p(x)p(x)p(x)是定义在X\mathscr{X}X上的半模，X0\mathscr{X}_0X0是X\mathscr{X}X的线性子空间，f0f_0f0是X0\mathscr{X}_0X0上的线性泛函并满足f0(x)⩽p(x)(∀x∈X0)f_0(x)\leqslant p(x)(\forall x\in\mathscr{X}_0)f0(x)⩽p(x)(∀x∈X0)，那么X\mathscr{X}X上必有一个线性泛函fff满足
(1) ∣f(x)∣⩽p(x)(∀x∈X)|f(x)|\leqslant p(x)(\forall x\in\mathscr{X})∣f(x)∣⩽p(x)(∀x∈X) 【受ppp控制条件】
(2) f(x)=f0(x)(∀x∈X0)f(x)=f_0(x)(\forall x\in\mathscr{X}_0)f(x)=f0(x)(∀x∈X0) 【延拓条件】

关键思想是令f(x)=g(x)−ig(ix)f(x)=g(x)-ig(ix)f(x)=g(x)−ig(ix)，其中g(x)g(x)g(x)是实的

为了复线性空间X\mathscr{X}X上至少有一个非零线性泛函，只要X\mathscr{X}X中含有某一个均衡的吸收真凸子集。

定理2.4.4 Hahn-Banach

设X\mathscr{X}X是B∗B^*B∗空间，X0\mathscr{X}_0X0是X\mathscr XX的线性子空间，f0f_0f0是定义在X0\mathscr X_0X0上的有界线性泛函，则X\mathscr{X}X上必有有界线性泛函fff满足：
(1) f(x)=f0(x)(∀x∈X0)f(x)=f_0(x)\quad(\forall x\in\mathscr X_0)\quadf(x)=f0(x)(∀x∈X0)（延拓条件）
(2) ∣∣f∣∣=∣∣f0∣∣0||f||=||f_0||_0\quad∣∣f∣∣=∣∣f0∣∣0（保范条件）

每个B∗B^*B∗空间必有足够多的连续线性泛函，这意味着∀x1≠x2,∃\forall x_1\neq x_2,\exist∀x1=x2,∃连续线性泛函fff，使得f(x1)≠f(x2)f(x_1)\neq f(x_2)f(x1)=f(x2)

若x0≠θx_0\neq\thetax0=θ，则可以构造子空间X0={λx0∣λ∈C}\mathscr X_0=\{\lambda x_0|\lambda\in\mathbb{C}\}X0={λx0∣λ∈C}，并在X0\mathscr X_0X0上定义f0(λx0)=λ∣∣x0∣∣f_0(\lambda x_0)=\lambda||x_0||f0(λx0)=λ∣∣x0∣∣，那么f0(x0)=∣∣x0∣∣,∣∣f0∣∣0=1f_0(x_0)=||x_0||,||f_0||_0=1f0(x0)=∣∣x0∣∣,∣∣f0∣∣0=1
由此可得以下推论

推论2.4.6

设X\mathscr{X}X是B∗B^*B∗空间，∀x0∈X∖{θ}\forall x_0\in\mathscr{X}\setminus\{\theta\}∀x0∈X∖{θ}，必∃f∈X∗\exist f\in\mathscr X^*∃f∈X∗，使得f(x0)=∣∣x0∣∣,∣∣f∣∣=1f(x_0)=||x_0||,||f||=1f(x0)=∣∣x0∣∣,∣∣f∣∣=1

本推论给出了判断B∗B^*B∗空间零元的一种方法：x=θ⟺∀f∈X∗,f(x0)=0x=\theta\iff\forall f\in\mathscr X^*,f(x_0)=0x=θ⟺∀f∈X∗,f(x0)=0

定理2.4.7

设X\mathscr{X}X是B∗B^*B∗空间，MMM是X\mathscr{X}X的线性子空间，若x0∈Xx_0\in\mathscr{X}x0∈X，且d:=ρ(x0,M)>0d:=\rho(x_0,M)>0d:=ρ(x0,M)>0，则必∃f∈X∗\exist f\in\mathscr X^*∃f∈X∗适合条件
(1) f(x)=0(∀x∈M)f(x)=0\quad(\forall x\in M)f(x)=0(∀x∈M)
(2) f(x0)=df(x_0)=df(x0)=d
(3) ∣∣f∣∣=1||f||=1∣∣f∣∣=1

推论2.4.8

设MMM是B∗B^*B∗空间的一个子集，又设x0x_0x0是X\mathscr XX中任意一个非零元素，那么x∈spanM‾x\in\overline{span M}x∈spanM的充要条件是
∀f∈X∗,f(x)=0(∀x∈M)⟹f(x0)=0\forall f\in\mathscr X^*,f(x)=0(\forall x\in M)\implies f(x_0)=0∀f∈X∗,f(x)=0(∀x∈M)⟹f(x0)=0

定理2.4.14 Hahn-Banach定理的几何形式

设EEE是实B∗B^*B∗空间X\mathscr{X}X上以θ\thetaθ为内点的凸子集且E⫋XE\subsetneqq\mathscr{X}E⫋X，又设x0∉Ex_0\notin Ex0∈/E，则必存在一个闭超平面HfrH^r_fHfr分离x0x_0x0与EEE

其中Hfr:={x∈X∣f(x)=r}H^r_f:=\{x\in\mathscr{X}|f(x)=r\}Hfr:={x∈X∣f(x)=r}，分离指的是
f(x0)⩽r,∀x∈E,f(x)⩾r或f(x0)⩾r,∀x∈E,f(x)⩽rf(x_0)\leqslant r,\qquad\forall x\in E,f(x)\geqslant r\\ 或f(x_0)\geqslant r,\qquad\forall x\in E,f(x)\leqslant rf(x0)⩽r,∀x∈E,f(x)⩾r或f(x0)⩾r,∀x∈E,f(x)⩽r

注1 EEE有内点不可省略
注2 fff可推出是非零连续线性泛函
注3(定理2.4.15)
设E1,E2E_1,E_2E1,E2是实B∗B^*B∗空间中两个互不相交的非空凸集，E1E_1E1有内点；那么∃s∈R1\exist s\in\mathbb R^1∃s∈R1和非零线性连续泛函fff，使得超平面HfsH^s_fHfs分离E1E_1E1和E2E_2E2

定理2.4.16 Ascoli定理

设EEE是实B∗B^*B∗空间X\mathscr{X}X中的闭凸集，则∀x0∈X∖E,∃f∈X∗\forall x_0\in\mathscr{X}\setminus E,\exist f\in\mathscr X^*∀x0∈X∖E,∃f∈X∗及α∈R1\alpha\in\mathbb R^1α∈R1，适合
f(x)<α<f(x0)(∀x∈E)f(x)<\alpha<f(x_0)\qquad(\forall x\in E)f(x)<α<f(x0)(∀x∈E)

定理2.4.17 Mazur定理

设EEE是实B∗B^*B∗空间X\mathscr XX上的一个有内点的凸集，FFF是X\mathscr XX上的一个线性流形，又设E˚∩F=ϕ\mathring E\cap F=\phiE˚∩F=ϕ，那么存在一个包含FFF的闭超平面LLL，使EEE在LLL的一侧。

共轭空间·弱收敛·自反空间

定义2.5.1 共轭空间

设X\mathscr XX是一个B∗B^*B∗空间，X\mathscr XX上所有的连续线性泛函全体，按范数∣∣f∣∣:=sup⁡∣∣x∣∣=1∣f(x)∣||f||:=\sup\limits_{||x||=1}|f(x)|∣∣f∣∣:=∣∣x∣∣=1sup∣f(x)∣构成一个BBB空间，称为X\mathscr XX的共轭空间，记为X∗\mathscr X^*X∗

定理2.5.7 第二共轭空间

X∗\mathscr X^*X∗的共轭空间记为X∗∗\mathscr X^{**}X∗∗，称为X\mathscr XX的第二共轭空间。

B∗B^*B∗空间X\mathscr XX与它的第二共轭空间X∗∗\mathscr X^{**}X∗∗的一个子空间等距同构。
BBB空间X\mathscr XX与它的第二共轭空间X∗∗\mathscr X^{**}X∗∗的一个闭子空间等距同构。

∀x∈X\forall x\in\mathscr X∀x∈X，可定义⟨X,f⟩=⟨f,x⟩(∀f∈X∗)\langle X,f\rangle = \langle f,x\rangle (\forall f\in\mathscr X^*)⟨X,f⟩=⟨f,x⟩(∀f∈X∗)，于是∣∣x∣∣=∣∣X∣∣||x||=||X||∣∣x∣∣=∣∣X∣∣。令T:x↦XT:x\mapsto XT:x↦X为自然映射，显然它是连续的。

定义2.5.8 自反的

TTT是满射，即X=X∗∗\mathscr X=\mathscr X^{**}X=X∗∗，称X\mathscr XX是自反的。

定义2.5.9 共轭算子

设X,Y\mathscr{X,Y}X,Y是B∗B^*B∗空间，算子T∈L(X,Y)T\in\mathscr{L(X,Y)}T∈L(X,Y)，算子T∗:Y∗→X∗T^*:\mathscr{Y^*\to X^*}T∗:Y∗→X∗称为是TTT的共轭算子是指f(Tx)=(T∗f)(x)(∀y∈Y∗,∀x∈X)f(Tx)=(T^*f)(x)\quad(\forall y\in\mathscr Y^*,\forall x\in\mathscr X)f(Tx)=(T∗f)(x)(∀y∈Y∗,∀x∈X)

映射∗:T↦T∗*:T\mapsto T^*∗:T↦T∗是L(X,Y)\mathscr{L(X,Y)}L(X,Y)到L(Y∗,X∗)\mathscr{L(Y^*,X^*)}L(Y∗,X∗)内的等距同构。

设X,Y\mathscr{X,Y}X,Y是B∗B^*B∗空间，T∈L(X,Y)T\in\mathscr{L(X,Y)}T∈L(X,Y)，那么T∗∗∈L(X∗∗,Y∗∗)T^{**}\in\mathscr{L(X^{**},Y^{**})}T∗∗∈L(X∗∗,Y∗∗)是TTT在X∗∗X^{**}X∗∗上的延拓，并满足∣∣T∗∗∣∣=∣∣T∣∣||T^{**}||=||T||∣∣T∗∗∣∣=∣∣T∣∣

定义2.5.15 弱收敛

设X,Y\mathscr{X,Y}X,Y是B∗B^*B∗空间，{xn}⊂X,x∈X\{x_n\}\subset\mathscr X,x\in\mathscr X{xn}⊂X,x∈X，称{xn}\{x_n\}{xn}弱收敛到xxx，记做xn⇀xx_n\rightharpoonup xxn⇀x，是指：对于∀f∈X∗\forall f\in\mathscr X^*∀f∈X∗都有lim⁡n→∞f(xn)=f(x)\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)n→∞limf(xn)=f(x)，这时xxx称做点列{xn}\{x_n\}{xn}的弱极限。

注1： 称按范数收敛为强收敛，对应的极限成为强极限。若dim⁡X<∞\dim\mathscr X<\inftydimX<∞，则弱收敛与强收敛等价。
注2： 弱极限若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。

定义2.5.19 ∗*∗弱收敛

设X\mathscr XX是B∗B^*B∗空间，{fn}⊂X∗,f∈X∗\{f_n\}\subset\mathscr X^*,f\in\mathscr X^*{fn}⊂X∗,f∈X∗.称fn∗f_n*fn∗弱收敛到fff，记做w∗−lim⁡n→∞fn=fw^*-\lim\limits_{n\to\infty}f_n=fw∗−n→∞limfn=f是指：对于∀x∈X\forall x\in\mathscr X∀x∈X，都有lim⁡fn(x)=f(x)\lim\limits_{f_n(x)}=f(x)fn(x)lim=f(x)，这时fff称做泛函序列{fn}\{f_n\}{fn}的∗*∗弱收敛。

设X\mathscr{X}X是B∗B^*B∗空间，{xn}⊂X,x∈X\{x_n\}\subset\mathscr X,x\in\mathscr X{xn}⊂X,x∈X，则为了xn⇀xx_n\rightharpoonup xxn⇀x，必须且仅须
(1) ∣∣xn∣∣||x_n||∣∣xn∣∣有界
(2) 对X∗\mathscr X^*X∗中的一个稠密子集M∗M^*M∗上的一切fff都有lim⁡n→∞f(xn)=f(x)\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)n→∞limf(xn)=f(x)

设X\mathscr{X}X是BBB空间，又设{fn}⊂X∗,f∈X∗\{f_n\}\subset\mathscr X^*,f\in\mathscr X^*{fn}⊂X∗,f∈X∗，则为了w∗−lim⁡n→∞fn=fw^*-\lim\limits_{n\to\infty}f_n=fw∗−n→∞limfn=f，必须且仅须
(1) ∣∣fn∣∣||f_n||∣∣fn∣∣有界
(2) 对X\mathscr XX中的一个稠密子集MMM上的一切xxx都有lim⁡n→∞fn(x)=f(x)\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)n→∞limfn(x)=f(x)

定义2.5.22 算子的一致极限、强极限、弱极限

设X,Y\mathscr{X,Y}X,Y是B∗B^*B∗空间，又设Tn(n=1,2,⋯),T∈L(X,Y)T_n(n=1,2,\cdots),T\in\mathscr{L(X,Y)}Tn(n=1,2,⋯),T∈L(X,Y)
(1) 若∣∣Tn−T∣∣→0||T_n-T||\to0∣∣Tn−T∣∣→0，则称TnT_nTn一致收敛与TTT，记做Tn⇉TT_n\rightrightarrows TTn⇉T，这时TTT称做{Tn}\{T_n\}{Tn}的一致极限。
(2) 若∣∣(Tn−T)x∣∣→0(∀x∈X)||(T_n-T)x||\to0(\forall x\in\mathscr X)∣∣(Tn−T)x∣∣→0(∀x∈X)，则称TnT_nTn强收敛于TTT，记做Tn→TT_n\to TTn→T，这时TTT称做{Tn}\{T_n\}{Tn}的强极限。
(3) 若对于∀x∈X\forall x\in\mathscr X∀x∈X，以及∀f∈Y∗\forall f\in\mathscr Y^*∀f∈Y∗都有lim⁡n→∞f(Tnx)=f(Tx)\lim\limits_{n\to\infty}f(T_nx)=f(Tx)n→∞limf(Tnx)=f(Tx),则称TnT_nTn弱收敛于TTT，记做Tn⇀TT_n\rightharpoonup TTn⇀T，这时TTT称做{Tn}\{T_n\}{Tn}的弱极限。
显然，一致收敛⟹\implies⟹强收敛⟹\implies⟹弱收敛，且每种极限若存在必唯一，但反过来都不对。

若Y=K\mathscr Y=\mathbb KY=K，则此时Tn,T∈X∗T_n,T\in\mathscr X^*Tn,T∈X∗，此时TnT_nTn强收敛或弱收敛于TTT均等同于∗*∗弱收敛于TTT，进一步当Y\mathscr YY为有限维B∗B^*B∗空间时，其上的强收敛与弱收敛等价。

定义2.5.25 弱列紧，∗*∗弱列紧

弱列紧：任意点列中有一个弱收敛子列。
∗*∗弱列紧：任意点列中有一个∗*∗弱收敛子列。

设X∗\mathscr X^*X∗是可分的B∗B^*B∗空间，那么X∗\mathscr X^*X∗上的任意有界列{fn}\{f_n\}{fn}必有∗*∗弱收敛的子列，但不一定有依X∗\mathscr X^*X∗收敛的子列

定理2.5.26 Banach

设X\mathscr XX是B∗B^*B∗空间，若X\mathscr XX的共轭空间X∗\mathscr X^*X∗是可分的，则X\mathscr XX是可分的。

定理2.5.27 Pettis定理

自反空间X\mathscr XX的闭子空间X0\mathscr X_0X0必是自反空间。

定理2.5.28 Eberlein-Smulian定理

自反空间的单位（闭）球是弱（自）列紧的。

定理2.5.29 Alaoglu定理

设X\mathscr XX是B∗B^*B∗空间，则X∗\mathscr X^*X∗中的单位闭球是∗*∗弱列紧的。

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