《简明微积分》（第四版）学习笔记

学习用书是《简明微积分》，作者是龚昇
选择此书是因为它的编写顺序不是传统高数的先实数理论和极限的证明，而是按数学史
发展的顺序，先引进微积分再后续完善实数理论的严格证明。
笔记的顺序与目录的顺序大致相同。

第一章--微积分的概念
- 函数与极限
- - 极限
  - 连续函数
- 定积分
- - 计算面积
  - 定义定积分
  - 对数函数y=lnxy=lnxy=lnx
- 微商与微分
- - 微分：
  - 积分中值定理:
  - 定义极值点
  - 罗尔定理
  - 微分中值定理(拉格朗日中值定理)
  - 柯西中值定理
- 微积分基本定理
- - 微分形式
  - 积分形式
第二章--微积分的运算
- 微分法
- - 微商与微分的计算
  - 高阶微商与高阶微分
  - 利用微分作近似计算
- 积分法
- - 不定积分的计算
  - 定积分的计算
  - 定积分的近似计算

第一章–微积分的概念

函数与极限

极限

首先从数列的极限引出函数极限。

讨论极限需要知道精确度的概念，用A作为参考，当无论x在一定范围内取何值时，总有∣x−A∣≤δ,δ|x-A|\leδ, δ∣x−A∣≤δ,δ是给定的正数，我们可以认为x的精度达到了一定范围，这个精确度是A。
例如取A=0.1，若δ=0.01δ=0.01δ=0.01，总有∣x−A∣≤δ|x-A|\leδ∣x−A∣≤δ，显然x= 0.11是符合的，x=0.108也是符合的，但x=0.112就不符合了。上式就像是在限定误差范围在0~0.1以内。

对数列而言，lim⁡n→+∞an\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_nn→+∞liman会趋近于一个确定的数，此时可以用上述的精确度判断是否达到极限。函数的极限也是相似的，另外，当X趋近于某个x0x_0x0时，也可以表示出相应的极限。
数列/函数的极限可以进行四则运算，由函数叠加可以明白，教材上未先给出严格证明，将在第九章完善。

夹逼定理
若恒有g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\le f(x)\le h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)，则当lim⁡x→ag(x)=lim⁡x→ah(x)=A\lim\limits_{x \rightarrow a}g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow a}h(x)=Ax→alimg(x)=x→alimh(x)=A，定有lim⁡x→af(x)=A\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=Ax→alimf(x)=A
数列也相似。

连续函数

若lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x)=0\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}f(x_0+\Delta x)-f(x)=0Δx→0limf(x0+Δx)−f(x)=0，则说明函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0附近是连续的，反之则是不连续的（间断）。这点从图像上是直观的。通常我们会考虑函数在一个区间上是否连续。

一些函数的常规性质可以参考高中教科书的定义，比如集合，映射，函数的定义等，这里不再重复。

定积分

计算面积

从计算曲边梯形的面积引入定积分的概念。假设要计算y=x2y=x^2y=x2与x轴，x=a, x=b(b>a)围成的面积大小，可以采用无限分割（微元）用矩形进行面积近似的方法计算。得到一个数列求和的形式，写出其求和的通项公式即可。

注意在无限分割时，每个小区间可以是等间距的，也可以不等间距，后者常用用等比数列的方式呈现。当分割的区间数n趋近于无穷时，曲边梯形的面积就可以由小矩形面积的和代替。

对于分割出的每一个小区间，要选取一个函数值作为矩形的高。该函数值的选取相对任意，该区间内的每个自变量对应的函数值都可以作为矩形的高，可以记作f(ξi)f(\xi_i)f(ξi)，区间宽度为xi+1−xix_{i+1}-x_ixi+1−xi，则求和公式为∑i=1n(xi+1−xi)⋅f(ξi)\sum\limits_{i=1}^n(x_{i+1}-x_i)\cdot f(\xi_i)i=1∑n(xi+1−xi)⋅f(ξi)。

同时分割的方法很有讲究，分割方法不同计算的难易度也有很大差异，但本质相同。
假设一种分割方法为T，设λ(T)\lambda(T)λ(T)表示所有小区间中宽度最大的一个的宽度，当λ→0\rightarrow 0→0时，曲边梯形面积近似等于矩形面积之和。

定义定积分

当Δx→0\Delta x \rightarrow 0Δx→0时，用dxdxdx代替，可将上式改写为S = ∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫abf(x)dx，即求f(x)f(x)f(x)与x轴，x=a和x=b围成的面积。
且规定∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx(a<b)\int_b^af(x)dx= -\int_a^bf(x)dx(a<b)∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx(a<b)
由定积分的定义可以得到

∫aaf(x)dx=0\int_a^af(x)dx=0∫aaf(x)dx=0
∫ab[f(x)±g(x)]dx\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx\int_a^bf(x)dx \pm \int_a^bg(x)dx∫abf(x)dx±∫abg(x)dx
∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫abf(x)dx= ∫acf(x)dx\int_a^cf(x)dx∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_c^bf(x)dx∫cbf(x)dx
−∣∫abf(x)dx∣≤∫acf(x)dx-|\int_a^bf(x)dx| \le \int_a^cf(x)dx−∣∫abf(x)dx∣≤∫acf(x)dx+∫cb∣f(x)∣dx\int_c^b|f(x)|dx∫cb∣f(x)∣dx
x∈[a,b]上，若总有g(x)≥f(x)⇒总有∫abg(x)≥∫abf(x)x\in[a,b]上，若总有g(x)\geq f(x)\Rightarrow 总有\int_{a}^{b}g(x)\geq \int_{a}^{b}f(x)x∈[a,b]上，若总有g(x)≥f(x)⇒总有∫abg(x)≥∫abf(x)

对数函数y=lnxy=lnxy=lnx

在讨论气体做功时我们发现无法避开对y=1xy= \frac{1}{x}y=x1求定积分这一步骤。我认为在这本书里，作者想通过求解积分来定义出以e为底的对数函数。

可以定义lnx=∫1x1xdxlnx = \int_1^x \frac{1}{x} dxlnx=∫1xx1dx，且当x=e时lnx=∫1e1xdx=1lnx = \int_1^e \frac{1}{x} dx = 1lnx=∫1ex1dx=1
可以证明∀x1,x2>0\forall x_1, x_2>0∀x1,x2>0都有lnx1x2=lnx1+lnx2lnx_1x_2 = lnx_1+lnx_2lnx1x2=lnx1+lnx2

从y=lnxy=lnxy=lnx的定义出发，lnx1x2=∫1x1x21xdx=∫1x11xdx+∫x1x1x31xdxlnx_1x_2 = \int_1^{x_1x_2} \frac{1}{x} dx= \int_1^{x_1} \frac{1}{x} dx +\int_{x_1}^{x_1x_3} \frac{1}{x} dxlnx1x2=∫1x1x2x1dx=∫1x1x1dx+∫x1x1x3x1dx

而∫x1x1x31xdx\int_{x_1}^{x_1x_3} \frac{1}{x} dx∫x1x1x3x1dx可表示为：

lim⁡n→+∞∑i=1n1x1+i⋅x1x2−x1n⋅x1x2−x1n\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_1+i\cdot\frac{x_1x_2-x_1}{n}}\cdot\frac{x_1x_2-x_1}{n}n→+∞limi=1∑nx1+i⋅nx1x2−x11⋅nx1x2−x1，（这个表达式需要仔细理解，展开会更容易接受）
发现分子分母均有x1x_1x1，消去可以得到lim⁡n→+∞∑i=1n11+i⋅x2−1n⋅x2−1n\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{1+i\cdot\frac{x_2-1}{n}}\cdot\frac{x_2-1}{n}n→+∞limi=1∑n1+i⋅nx2−11⋅nx2−1 =∫1x21xdx=\int_1^{x_2} \frac{1}{x} dx=∫1x2x1dx
所以原式证毕。

下面利用这个等式得到该函数的一些性质。
取x1=1x2x_1 =\frac{1}{x_2}x1=x21得0=ln1=lnx1+ln1x10=ln1= lnx_1+ln\frac{1}{x_1}0=ln1=lnx1+lnx11，即−lnx1=ln1x1-lnx_1=ln\frac{1}{x_1}−lnx1=lnx11
取x1=x2=xx_1 =x_2=xx1=x2=x得lnx2=2lnxlnx^2=2lnxlnx2=2lnx，同理得lnx3=3lnx...lnx^3=3lnx...lnx3=3lnx...，即lnxn=nlnxlnx^n=nlnxlnxn=nlnx（n∈Nn\in Nn∈N）

下面将n的取值范围推广到全体实数。
当n是负整数时，lnx−n=ln(1x)n=−nlnx=nln1xlnx^{-n} =ln(\frac{1}{x})^n=-nlnx=nln\frac{1}{x}lnx−n=ln(x1)n=−nlnx=nlnx1，所以n取值范围推广到整数。
当n是整数时，ln(x1n)n=lnx=nlnx1nln(x^{\frac{1}{n}})^n =lnx=nlnx^{\frac{1}{n}}ln(xn1)n=lnx=nlnxn1，说明1nlnx=lnx1n\frac{1}{n}lnx=lnx^{\frac{1}{n}}n1lnx=lnxn1
此时，若x=x0mx=x_0^mx=x0m，m是整数，则有1nlnx0m=lnx0mn=mnlnx0\frac{1}{n}lnx_0^m=lnx_0^{\frac{m}{n}}= \frac{m}{n}lnx_0n1lnx0m=lnx0nm=nmlnx0，由有理数的定义知道当u是有理数时，lnxu=ulnxlnx^u=ulnxlnxu=ulnx
再进一步，因为一个无理数总能有2个有理数逼近得到，当k是无理数时，即总有an≤k≤bna_n\le k\le b_nan≤k≤bn
由夹逼定理lnxan≤lnxk≤lnbnlnx^{a_n}\le lnx^k\le lnb_nlnxan≤lnxk≤lnbn，lim⁡n→+∞xan=lim⁡n→+∞xbn=klnx\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}x^{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}x^{b_n}=klnxn→+∞limxan=n→+∞limxbn=klnx，所以lnxk=klnxlnx^k=klnxlnxk=klnx
综上所述，N的取值范围是全体实数。（上述证明过程需要仔细消化）

从这里我们就可以知道。这个函数y=lnx是一个以e为底数的对数函数。

微商与微分

从割线斜率到切线斜率，瞬时变化率等概念引入导数/微商，这里与高中内容基本重复，不作重复。
导数概念：f′(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf^{'}(x) =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}f′(x)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)
若在x=x0x=x_0x=x0处存在f′(x)f^{'}(x)f′(x)，则函数f(x)f(x)f(x)在该处可微，f′(x)f^{'}(x)f′(x)就是f(x)在此处的微商。

微分：

若函数f(x)在x=x0x=x_0x=x0处可微，则f(x)在此处的微分为f’(x)dx，变量x的微分为dx
关键在于变量y的微分Δy\Delta yΔy如何表示

ΔyΔx−f′(x)=a\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x)=aΔxΔy−f′(x)=a

因为lim⁡Δx→0ΔyΔx=f′(x)\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)Δx→0limΔxΔy=f′(x), 且lim⁡Δx→0a=0\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{a}=0Δx→0lima=0，所以Δy=f′(x)Δx+aΔx\Delta y=f'(x)\Delta x+a\Delta xΔy=f′(x)Δx+aΔx，当Δx趋近于0时，aΔx以更快的速度趋近于0。

当f’(x)是一个确切的数时，表达式中前项往往远大于后一项，后项可以忽略。
由此，微商就是因变量的微分和自变量微分的商。

积分中值定理:

任意曲边梯形的面积总能转化为一以该区间宽度和区间内一函数值为长款的矩形的面积，即总存在(ξ∈[a,b])(\xi\in[a,b])(ξ∈[a,b])使得∫abf(x)dx=(b−a)⋅f(ξ)\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)\cdot f(\xi)∫abf(x)dx=(b−a)⋅f(ξ)
证明：
由m⋅(b−a)≤∫abf(x)≤M⋅(b−a)得m≤1b−a∫abf(x)≤M，因为f(x)在[a,b]上是连续的，所以∃ξ∈[a,b]使得f(ξ)=1b−a∫abf(x),即∫abf(x)dx=(b−a)⋅f(ξ)由m\cdot(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\leq M\cdot(b-a) \\得m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\leq M，因为f(x)在[a,b]上是连续的，\\所以\exists \xi\in[a,b]使得f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x),即\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)\cdot f(\xi)由m⋅(b−a)≤∫abf(x)≤M⋅(b−a)得m≤b−a1∫abf(x)≤M，因为f(x)在[a,b]上是连续的，所以∃ξ∈[a,b]使得f(ξ)=b−a1∫abf(x),即∫abf(x)dx=(b−a)⋅f(ξ)
证毕

定义极值点

概念：若函数f(x)在x=a处的函数值比周围的函数值都要大，那么x=a是其极大值点; 反之，如果函数f(x)在x=b处的函数值比周围的函数值都要小，那么x=b是其极小值点。均有f′(a)=0,f′(b)=0f'(a)=0, f'(b)=0f′(a)=0,f′(b)=0, 这也是费马定理
证明：
以极大值点x=x0为例：由定义当Δx>0，且在x0的一个邻域内时，lim⁡Δx→0f(x0)−f(x0+Δx)≥0，即lim⁡Δx→0f(x0)−f(x0+Δx)Δx≥0，同样有lim⁡Δx→0f(x0)−f(x0−Δx)−Δx≤0，所以f′(x0)=0以极大值点x=x_0为例：\\由定义当\Delta x>0，且在x_0的一个邻域内时，\\\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0)-f(x_0+\Delta x)}\geq0，即\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x_0)-f(x_0+\Delta x)}{\Delta x}}\geq0，\\同样有\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x_0)-f(x_0-\Delta x)}{-\Delta x}}\leq0，所以f'(x_0)=0以极大值点x=x0为例：由定义当Δx>0，且在x0的一个邻域内时，Δx→0limf(x0)−f(x0+Δx)≥0，即Δx→0limΔxf(x0)−f(x0+Δx)≥0，同样有Δx→0lim−Δxf(x0)−f(x0−Δx)≤0，所以f′(x0)=0
极小值点同理

罗尔定理

有了这个定理, 我们就可以证明罗尔定理：若函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=0若函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)，则至少存在一点\xi\in(a,b)使得f'(\xi)=0若函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=0
证明:
假设连续函数f(x)在[a,b]上的最大值为大M，最小值为m。若M=m，则f(x)是常函数，∀ξ∈(a,b)，f′(ξ)=0若M>m，则∃α,β∈[a,b]，使得f(α)=M,f(β)=m(最值定义)。且α和β中至少有一个不和x=a,b重合。假设α≠a或b，则由连续函数的性质，x=α是f(x)的极大值点，f′(α)=0，极小值同理，故证毕假设连续函数f(x)在[a,b]上的最大值为大M，最小值为m。\\若M=m，则f(x)是常函数，\forall \xi\in(a,b)，f'(\xi)=0\\若M>m，则\exists\alpha, \beta\in[a,b]，使得f(\alpha)=M, f(\beta)=m(最值定义)。\\且\alpha 和\beta中至少有一个不和x =a,b重合。假设\alpha\ne a或b，则由连续函数的性质，x=\alpha是f(x)的极大值点，f'(\alpha)=0，极小值同理，故证毕假设连续函数f(x)在[a,b]上的最大值为大M，最小值为m。若M=m，则f(x)是常函数，∀ξ∈(a,b)，f′(ξ)=0若M>m，则∃α,β∈[a,b]，使得f(α)=M,f(β)=m(最值定义)。且α和β中至少有一个不和x=a,b重合。假设α=a或b，则由连续函数的性质，x=α是f(x)的极大值点，f′(α)=0，极小值同理，故证毕x

下面就可以证明

微分中值定理(拉格朗日中值定理)

若函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可微存在一点ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a，即下图中割线斜率和切线斜率相同若函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可微存在一点\xi\in(a,b)使得f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}，即下图中割线斜率和切线斜率相同若函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可微存在一点ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=b−af(b)−f(a)，即下图中割线斜率和切线斜率相同

证明：
只要在罗尔定理的基础上构造辅助函数:φ(x)=f(x)+f(a)−f(b)b−a(x−a)，使其满足φ(a)=φ(b)，易知φ(x)同样连续可微，所以存在ξ∈(a,b)，使φ′(ξ)=0即f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a只要在罗尔定理的基础上构造辅助函数:\\\varphi(x)=f(x)+\frac{f(a)-f(b)}{b-a}(x-a)，使其满足\varphi(a)=\varphi(b)，易知\varphi(x)同样连续可微，\\所以存在\xi\in(a,b)，使\varphi'(\xi)=0即f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}只要在罗尔定理的基础上构造辅助函数:φ(x)=f(x)+b−af(a)−f(b)(x−a)，使其满足φ(a)=φ(b)，易知φ(x)同样连续可微，所以存在ξ∈(a,b)，使φ′(ξ)=0即f′(ξ)=b−af(b)−f(a)
这个辅助函数的构造可以从两方面

要找一条切线，让它的斜率等于割线，方程的形式和切线方程是相似的，相当于f(x)−φ(x)(这是f(a)的位置)=k(x−a)f(x)-\varphi(x)(这是f(a)的位置)=k(x-a)f(x)−φ(x)(这是f(a)的位置)=k(x−a)。
代数上f(a)−f(b)b−a(x−a)\frac{f(a)-f(b)}{b-a}(x-a)b−af(a)−f(b)(x−a)导数的斜率是割线的斜率。

柯西中值定理

同样的构造思路可以推广出柯西中值定理。
若f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，那么∃ξ∈(a,b)，使f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)若f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，那么\exist\xi\in(a,b)，使\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}若f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，那么∃ξ∈(a,b)，使g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)

微积分基本定理

微分形式

若g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且x∈[a,b]，f(x)=∫axg(x)dx,则df(x)dx=g(x)若g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且x\in[a,b]，f(x)=\int_{a}^{x}g(x)dx, 则\frac{df(x)}{dx}=g(x)若g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且x∈[a,b]，f(x)=∫axg(x)dx,则dxdf(x)=g(x)
这句话表明了意思是：一个函数的积分得到的函数，它的的导数是被积函数本身。换句话说，微积分基本定理的微分形式给了一个微分和积分之间转换的等式。
要证明这个等式，思路就是证明左边（未知）等于右边（已知），把左边先单独表示出来，转化成右边的形式。
证明：
只要证明：lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=g(x)，由f(x)定义，f(x)=∫axg(x)dx所以f(x+Δx)−f(x)Δx=∫ax+Δxg(x)dx−∫axg(x)dxΔx=∫xx+Δxg(x)dxΔx由定积分的性质（见上文内容），∃ξ∈[x,x+Δx]，使∫xx+Δxg(x)dx=g(ξ)⋅Δx代入上式化可得lim⁡Δx→0g(ξ)=g(x)，则微分形式证毕只要证明：\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=g(x)，由f(x)定义，f(x)=\int_{a}^{x}g(x)dx\\所以\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\int_{a}^{x+\Delta x}g(x)dx-\int_{a}^{x}g(x)dx}{\Delta x}=\frac{\int_{x}^{x+\Delta x}g(x)dx}{\Delta x}\\由定积分的性质（见上文内容），\exist\xi\in[x,x+\Delta x]，使\int_{x}^{x+\Delta x}g(x)dx=g(\xi)\cdot\Delta x\\ 代入上式化可得\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\xi)}=g(x)，则微分形式证毕只要证明：Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=g(x)，由f(x)定义，f(x)=∫axg(x)dx所以Δxf(x+Δx)−f(x)=Δx∫ax+Δxg(x)dx−∫axg(x)dx=Δx∫xx+Δxg(x)dx由定积分的性质（见上文内容），∃ξ∈[x,x+Δx]，使∫xx+Δxg(x)dx=g(ξ)⋅Δx代入上式化可得Δx→0limg(ξ)=g(x)，则微分形式证毕

积分形式

若dΦ(x)dx=f(x),则∫axf(x)dx=Φ(x)−Φ(a)若\frac{d\Phi(x)}{dx}=f(x),则\int_{a}^{x}f(x)dx=\Phi(x)-\Phi(a)若dxdΦ(x)=f(x),则∫axf(x)dx=Φ(x)−Φ(a)
这句话的意思是。导函数的定积分等于原函数在积分左右边界的函数值的的差值。
证明思路是：证明，左边（未知，但可以表示出来）等于右边（已知）。
证明：
令函数G(x)=∫axf(x)dx，由刚刚证明的结论知道：dG(x)dx=f(x)，即dG(x)dx−dΦ(x)dx=0说明d[G(x)−Φ(x)]dx=0，令F(x)=G(x)−Φ(x)，则F(x)是常函数，G(x)=Φ(x)+C由已知条件G(a)=0，得C=−Φ(a)，所以G(x)=Φ(x)−Φ(a)，则∫axf(x)dx=Φ(x)−Φ(a)证毕令函数G(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx，由刚刚证明的结论知道：\frac{dG(x)}{dx}=f(x)，即\frac{dG(x)}{dx}-\frac{d\Phi(x)}{dx}=0\\ 说明\frac{d[G(x)-\Phi(x)]}{dx}=0，令F(x)=G(x)-\Phi(x)，则F(x)是常函数，G(x)=\Phi(x)+C\\ 由已知条件G(a)=0，得C=-\Phi(a)，所以G(x)=\Phi(x)-\Phi(a)，\\ 则\int_{a}^{x}f(x)dx=\Phi(x)-\Phi(a)证毕令函数G(x)=∫axf(x)dx，由刚刚证明的结论知道：dxdG(x)=f(x)，即dxdG(x)−dxdΦ(x)=0说明dxd[G(x)−Φ(x)]=0，令F(x)=G(x)−Φ(x)，则F(x)是常函数，G(x)=Φ(x)+C由已知条件G(a)=0，得C=−Φ(a)，所以G(x)=Φ(x)−Φ(a)，则∫axf(x)dx=Φ(x)−Φ(a)证毕

第二章–微积分的运算

微分法

微商与微分的计算

基本的求导方法在高中阶段就已经学习过了，这里不再重复。
值得一提的是，反函数的求导方法和相关性质。
定义反函数：y=f(x)的反函数是x=ϕ(y)x=\phi(y)x=ϕ(y)，可以认为是反解出y的函数为x。
注意：这里的2个函数是在一个坐标系里，他们描述的图像是相同函数。但一般情况下，我们喜欢用Y做因变量，X做自变量，所以会重新写成y=ϕ(x)y=\phi(x)y=ϕ(x)，这个函数和y=f(x)是关于y=x这条直线对称的。分别研究y=f(x)对x的导数和x=ϕ(y)x=\phi(y)x=ϕ(y)对y的导数（一个是dydx\frac{dy}{dx}dxdy，另一个是dxdy\frac{dx}{dy}dydx），则有f′(x)⋅ϕ′(y)=1f'(x)\cdot \phi'(y)=1f′(x)⋅ϕ′(y)=1这就实现了形式上的转换。
也可以从复合函数的角度看，y=f(x)=f(ϕ(y))的微分dy=df(ϕ(y))dϕ(y)⋅dϕ(y)dy⋅dy即1=f′(x)⋅ϕ′(y)y=f(x)=f(\phi(y))的微分dy=\frac{df(\phi(y))}{d\phi(y)}\cdot\frac{d\phi(y)}{dy}\cdot dy\\即1=f'(x)\cdot\phi'(y)y=f(x)=f(ϕ(y))的微分dy=dϕ(y)df(ϕ(y))⋅dydϕ(y)⋅dy即1=f′(x)⋅ϕ′(y)
学到这里需要了解三角函数的反函数
sinx→arcsinxcosx→arccosxtanx→arctanxsinx\rightarrow arcsinx\\cosx\rightarrow arccosx\\tanx\rightarrow arctanxsinx→arcsinxcosx→arccosxtanx→arctanx
图像分别是

高阶微商与高阶微分

求导得到一个函数可以叫做导函数。对导函数可以再一次求导，得到二阶导数，方法和求一阶导数相同。
可以在符号上作出区别，三个式子等价只是形式不同。
y′′=d2ydx2=d(dy)dx2y''=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(dy)}{dx^2}y′′=dx2d2y=dx2d(dy)
怎么样还有n阶导数d(n)ydxn\frac{d^{(n)}y}{dx^n}dxnd(n)y。
同样可知道高阶微分的表达式是，如二阶微分
d(dy)=f′′(x)dxd(dy)=f''(x)dxd(dy)=f′′(x)dx

利用微分作近似计算

由Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)dx(当Δx→0)知f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)dx(当\Delta x\rightarrow0)知\\f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta xΔy=f(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)dx(当Δx→0)知f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx

积分法

不定积分的计算

常常有两种方法求简单的不定积分：换元法和分部积分法。
两种方法都是将不熟悉的不定积分转化为能用熟悉模型解决的不定积分，需要做些练习进行归纳和积累。

定积分的计算

定积分的近似计算

未完待续
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