无标度网络生成算法之简单轮盘算法

简单轮盘算法

简单轮盘生成算法将轮盘赌算法和BA无标度网络结合，生成无标度网络。

轮盘赌基本原理

参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_67c17d1c01017hyt.html

轮盘赌算法：

轮盘赌算法的基本思想是个体被选中的概率与其适应度函数值成正比；

设群体大小为nnn，个体iii的适应度为FiF_{i}Fi，则个体被选中遗传到下一代群体的概率为

Pi=Fi/∑i=1nFiP_{i}=F_{i} / \sum\limits_{i=1}^{n} F_{i}Pi=Fi/i=1∑nFi

其工作过程：设想群体全部个体的适当性分数可以用一张饼图来表示，群体中的每一个染色快指定饼图中的一个小块；块的大小与染色块的适应性函数成比例，适应性函数越高，其相应在饼图中的小块所占面积也越大。

为了选取饼图中的一个染色块，可以旋转这个轮子，直到轮盘停止时，看指针停止的位置。指针停止在哪一块，就选择与之对应的那个染色块。

具体操作：

计算出群体中每个个体的适应度Fi，i=1,2,⋯,MF_{i}，i=1,2,\cdots,MFi，i=1,2,⋯,M，其中MMM是群体大小；
计算出每一个个体被遗传到下一代群体中的概率：

Pi=Fi/∑i=1nFiP_{i}=F_{i} / \sum\limits_{i=1}^{n} F_{i}Pi=Fi/i=1∑nFi
计算出每个个体的累计概率：
qi=∑j=1iP(xj)q_{i}=\sum\limits_{j=1}^{i} P\left(x_{j}\right) qi=j=1∑iP(xj)
在区间[0,1][0,1][0,1]内产生一个均匀分布的伪随机数rrr;
若r<qir<q_{i}r<qi，则选择个体iii；否则，选择个体kkk，使得q[k−1]<r≤q[k]q[k-1]<r\le q[k]q[k−1]<r≤q[k] 成立；
重复步骤4，5 共MMM次；

例如，以下表为例，采用轮盘赌选择法的选择概率计算：

个体	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
适应度	2.0	1.8	1.6	1.4	1.2	1.0	0.8	0.6	0.4	0.2	0.1
选择概率	0.18	0.16	0.15	0.13	0.11	0.09	0.07	0.06	0.03	0.02	0.0
累计概率	0.18	0.34	0.49	0.62	0.73	0.82	0.89	0.95	0.98	1.00	1.00

如果产生的随机数是0.81，则6号个体被选中。

我们可以明显地看出

从个体选择概率理解，适应度数值越高，它被选中的概率就越大。
累积概率把各个个体的概率使用不同长度的线段来表示，这些线段组合成一条直线，直线的长度为1（各个个体概率之和），这样在该直线中，某段的线段最长，就代表该个体被选中的概率越大。

注意：

（一）任意选择所有个体的一个排列序列（这个序列可以随便排，因为是某线段之间的长度为代表某个体的选择概率）
（二）任意个体的累积概率为该个体对应的前几项数据的累加和。

这样，如果某个个体的适应度数值高，它所对应的个体选择概率就会越大，通过累积概率转换后对应的线段会越长。
对于适应度值较大的个体，对应的线段长度会长，这样随机产生的数字落在此区间的概率就大，该个体被选中的概率也大。同时，对于适应度较小的个体，线段长度会相对较短，随机数字在该区间的概率相对较小，但是也有被选中的可能，避免了适应度数值较小的个体被直接淘汰的问题。

我们从中也可以看出，轮盘赌算法与个体的排列顺序有关。

C++代码实现：

int RouletteWheelSelection(){srand(0);//定义randdouble m = rand()/double(RAND_MAX);//产生一个[0,1)的随机值int Probability_Total = 0;int Selection = 0;for(int i = 0;i < SIZE; i++){//SIZE是个体数量的大小Probability_Total = Probability_Total + Probability[i];if(Probability_Total >= m){Selection = i;break;}   }return Selection;
}

轮盘赌小结

轮盘赌的核心在于两个该概率和个体选择策略:

(1) 个体选择概率

(2) 累计概率

(3) 如何选择某个个体

个体选择概率：适应度值越高，其被选择的概率就越大.
累计概率：线段表示
选择：生成[0,1][0,1][0,1]区间的随机数，看看该数字落在那个区间。

轮盘生成算法

模拟轮盘赌:穿行创建有n个节点的无标度幂律图

给定一个包含kkk个节点的集合{v1,v2,…,vk}\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right\}{v1,v2,…,vk}，当产生了一个新节点v(k+1)v_{(k+1)}v(k+1)，这个节点需要与{v1,v2,…,vk}\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right\}{v1,v2,…,vk}中的mmm个节点建立连接，对于这个新节点需要建立的每一条连接，都与现有网络中的节点的概率成正比。

p(vi)=deg⁡(vi)∑i=1kdeg⁡(vi)p\left(v_{i}\right)=\frac{\operatorname{deg}\left(v_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{k} \operatorname{deg}\left(v_{i}\right)}p(vi)=∑i=1kdeg(vi)deg(vi)

简单轮盘算法(Simple Roulette Wheel, Simple-RW)采用优先连接机制来选择目标节点。该算法随机选择一个节点的主要思想如下：一个轮盘即为一系列具有一定选择概率的节点。随机选择一个节点时，首先需要产生一个0 到 1 之间的随机数, 然后选择一个累计概率满足不等式 P(vk−1)<x≤P(vk)P\left(v_{k-1}\right)<x \leq P\left(v_{k}\right)P(vk−1)<x≤P(vk) 的节点 vkv_{k}vk 进行连接操作。其中P(vk)P\left(v_{k}\right)P(vk)表示该节点的累计概率密度，满足公式。
P(vk)=∑i=1kp(vi)P\left(v_{k}\right)=\sum_{i=1}^{k} p\left(v_{i}\right) P(vk)=i=1∑kp(vi)
当网络中需要添加一个新的节点时，与这个网络对应的轮盘也要相应的增加节点。所以，无论何时在网络中加入一条边，这条边两端的节点的概率都会随其度的增加而相应的增加，而且为了保证整体的概率为 1 ，这个轮盘中的所有节点的概率都需要进行更新。因此，在每次的选择之后轮盘都需要进行调整，累计概率 PPP 也需
要在每次循环后重新计算。由于公式p(vi)=deg⁡(vi)∑i=1kdeg⁡(vi)p\left(v_{i}\right)=\frac{\operatorname{deg}\left(v_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{k} \operatorname{deg}\left(v_{i}\right)}p(vi)=∑i=1kdeg(vi)deg(vi)中的分母是常量，为了去除该分母以避免对 p(vi)p\left(v_{i}\right)p(vi) 的重复计算，可以将轮盘中的节点的概率 p(v1),…,p(vn)p\left(v_{1}\right), \ldots, p\left(v_{n}\right)p(v1),…,p(vn) 转换为节点对应的权值 w1,…,wnw_{1}, \ldots, w_{n}w1,…,wn, 其中，wi=deg⁡(vi)=Sn×p(vi)w_{i}=\operatorname{deg}\left(v_{i}\right)=S_{n} \times p\left(v_{i}\right)wi=deg(vi)=Sn×p(vi) 。同理可知，可以通过计算每个节点对应的部分和 σ1,…,σn\sigma_{1},\ldots,\sigma_{n}σ1,…,σn 来代替累计概率 P(vi)P(v_{i})P(vi) ，其中
σi=Sn×P(vi)=∑j=1iwj\sigma_{i}=S_{n} \times P\left(v_{i}\right)=\sum_{j=1}^{i} w_{j} σi=Sn×P(vi)=j=1∑iwj

小结

在轮盘中取样过程分为两步：

首先，产生一个随机数 r∈[1,Sn]r \in\left[1, S_{n}\right]r∈[1,Sn]；

然后，从轮盘中选择一个节点 vkv_{k}vk , 其中 vkv_{k}vk 满足 σ(k−1)<r≤σk\sigma_{(k-1)}<r \leq \sigma_{k}σ(k−1)<r≤σk

采用节点权值 www 来代替节点的度的优势在于：

在某个节点被选中并更新节点的概率密度的过程中，部分节点的累计概率密度并没有变，因而不需要重复计算。