随机过程：复合泊松过程
E(Nt)=E((λt)kk!e−λt)=λt（因为泊松过程的期望均值都为λ）E(N_t)=E(\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t})=\lambda t（因为泊松过程的期望均值都为\lambda）E(Nt)=E(k!(λt)ke−λt)=λt（因为泊松过程的期望均值都为λ）
复合泊松过程de定义级性质
Yt=∑n=1Ntξn,Nt为泊松过程，ξn独立同分布，则对于任意t≥0Y_t=\sum_{n=1}^{N_t} \xi_n ,N_t为泊松过程，\xi_n独立同分布，则对于任意t\geq 0Yt=n=1∑Ntξn,Nt为泊松过程，ξn独立同分布，则对于任意t≥0
- {Yt是独立增量过程}\{Y_t是独立增量过程\}{Yt是独立增量过程}
- E{Yt}=λtE(ξ)E\{Y_t\}=\lambda tE(\xi)E{Yt}=λtE(ξ),V{Yt}=λtE(ξ2)V\{Y_t\}=\lambda tE(\xi^2)V{Yt}=λtE(ξ2)
- 均值：E(Yt)=E(E(Yt∣Nt)),其中E(Yt∣Nt=n)=nE(ξ)⇒E(Yt∣Nt)=NtE(ξ)E{NtE(ξ)}=E(ξ)E{Nt}=E(ξ)∗λt方差：V(Yt)=E(V(Yt∣Nt))+V(E(Yt∣Nt))V(Yt∣Nt=n)=V(∑n=1Nξn)=N∗V(ξ)V(Yt)=E(V(Yt∣Nt))+V(E(Yt∣Nt))=E(Nt∗V(ξ))+V(NtE(ξ))=V(ξ)∗E(Nt)+E2(ξ)∗V(Nt)=[V(ξ)+E2(ξ)]∗λt=E(ξ2)∗λt{\color{red}均值}：E(Y_t)=E(E(Y_t|N_t)), \\ 其中E(Y_t|N_t=n)=nE(\xi) \\ \Rightarrow E(Y_t|N_t)=N_tE(\xi)\\ E\{N_tE(\xi) \}=E(\xi)E\{N_t \}=E(\xi)*\lambda t \\ {\color{red}方差}：V(Y_t)=E(V(Y_t|N_t))+V(E(Y_t|N_t))\\ V(Y_t|N_t=n)=V(\sum_{n=1}^{N} \xi_n)=N*V( \xi) \\ V(Y_t)=E(V(Y_t|N_t))+V(E(Y_t|N_t))\\ =E(N_t*V( \xi))+V(N_tE(\xi))\\ =V( \xi)*E(N_t)+E\color{red}^2\color{black}(\xi)*V(N_t)\\ =[V( \xi)+E\color{red}^2\color{black}(\xi)]*\lambda t\\ =E(\xi^2)*\lambda t\\ 均值：E(Yt)=E(E(Yt∣Nt)),其中E(Yt∣Nt=n)=nE(ξ)⇒E(Yt∣Nt)=NtE(ξ)E{NtE(ξ)}=E(ξ)E{Nt}=E(ξ)∗λt方差：V(Yt)=E(V(Yt∣Nt))+V(E(Yt∣Nt))V(Yt∣Nt=n)=V(n=1∑Nξn)=N∗V(ξ)V(Yt)=E(V(Yt∣Nt))+V(E(Yt∣Nt))=E(Nt∗V(ξ))+V(NtE(ξ))=V(ξ)∗E(Nt)+E2(ξ)∗V(Nt)=[V(ξ)+E2(ξ)]∗λt=E(ξ2)∗λt
- {Yt}的特征函数\{Y_t\}的特征函数{Yt}的特征函数
- φY(u)=E(eiuY)=∑n=0+∞E[eiuYt∣Nt=n]P(Nt=n)=∑n=0+∞E[eiu∑n=1nξn]P(Nt=n)=∑n=0+∞[E[eiuξn]]nP(Nt=n)=∑n=0+∞[φξ(u)]nP(Nt=n)=∑n=0+∞[φξ(u)]n(λt)nn!e−λt=e−λt∑n=0+∞[φξ(u)]n(λt)nn!=e−λt∑n=0+∞(λt∗φξ(u))nn!=e−λte(λt∗φξ(u))φ_Y(u)=E(e^{iuY})=\sum_{n=0}^{+\infty}E[e^{iuY_t}|N_t=n]P(N_t=n)\\ =\sum_{n=0}^{+\infty}E[e^{iu\sum_{n=1}^{n} \xi_n}]P(N_t=n)\\ =\sum_{n=0}^{+\infty}[E[e^{iu \xi_n}]]^{n}P(N_t=n)\\ =\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}P(N_t=n) \\ =\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\lambda t*φ_\xi(u))^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}e^{(\lambda t*φ_\xi(u))}φY(u)=E(eiuY)=n=0∑+∞E[eiuYt∣Nt=n]P(Nt=n)=n=0∑+∞E[eiu∑n=1nξn]P(Nt=n)=n=0∑+∞[E[eiuξn]]nP(Nt=n)=n=0∑+∞[φξ(u)]nP(Nt=n)=n=0∑+∞[φξ(u)]nn!(λt)ne−λt=e−λtn=0∑+∞[φξ(u)]nn!(λt)n=e−λtn=0∑+∞n!(λt∗φξ(u))n=e−λte(λt∗φξ(u))
或先求E[eiuYt∣Nt=n]=E[eiu∑n=1nξn∣Nt=n]=[E[eiuξn]]n=[φξ(u)]n，所以E[eiuYt∣Nt]=[φξ(u)]Nt原式=E([φξ(u)]Nt)=∑n=0+∞[φξ(u)]n(λt)nn!e−λt=e−λt∑n=0+∞[φξ(u)]n(λt)nn!=e−λt∑n=0+∞(λt∗φξ(u))nn!=e−λte(λt∗φξ(u))或先求E[e^{iuY_t}|N_t=n]\\ =E[e^{iu\sum_{n=1}^{n} \xi_n}|N_t=n]\\ =[E[e^{iu \xi_n}]]^{n}\\ =[φ_\xi(u)]^{n}，所以 E[e^{iuY_t}|N_t]=[φ_\xi(u)]^{N_t}\\ 原式 =E([φ_\xi(u)]^{N_t})=\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\lambda t*φ_\xi(u))^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}e^{(\lambda t*φ_\xi(u))}或先求E[eiuYt∣Nt=n]=E[eiu∑n=1nξn∣Nt=n]=[E[eiuξn]]n=[φξ(u)]n，所以E[eiuYt∣Nt]=[φξ(u)]Nt原式=E([φξ(u)]Nt)=n=0∑+∞[φξ(u)]nn!(λt)ne−λt=e−λtn=0∑+∞[φξ(u)]nn!(λt)n=e−λtn=0∑+∞n!(λt∗φξ(u))n=e−λte(λt∗φξ(u))
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订阅报纸
某书亭订阅报纸的强度为λ=6,某位顾客订阅2年，3年，6年的概率为12,13,16,求[0,t]订阅的总年数Yt=∑n=iNtξn的均值和方差由复合泊松过程性质得到E(Yt)=λtE(ξn)=18t,V(Yt)=λtE(ξ2)=6t∗(2∗2∗12+3∗3∗13+6∗6∗16)某书亭订阅报纸的强度为\lambda=6,某位顾客订阅2年，3年，6年的概率为\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6},求[0,t]订阅的总年数Y_t=\sum_{n=i}^{N_t} \xi_n的均值和方差\\ 由复合泊松过程性质得到E(Y_t)=\lambda tE(\xi_n)=18t,V(Y_t)=\lambda tE(\xi^2)=6t*(2*2*\frac{1}{2}+3*3*\frac{1}{3}+6*6*\frac{1}{6})某书亭订阅报纸的强度为λ=6,某位顾客订阅2年，3年，6年的概率为21,31,61,求[0,t]订阅的总年数Yt=∑n=iNtξn的均值和方差由复合泊松过程性质得到E(Yt)=λtE(ξn)=18t,V(Yt)=λtE(ξ2)=6t∗(2∗2∗21+3∗3∗31+6∗6∗61)
等火车时间
火车在t时刻启程，求总等待时间的均值E(∑i=1Nt(t−Si))火车在t时刻启程，求总等待时间的均值E(\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i))火车在t时刻启程，求总等待时间的均值E(∑i=1Nt(t−Si))
E(∑i=1Nt(t−Si))=E(E[∑i=1Nt(t−Si)∣Nt])1.先求E[∑i=1Nt(t−Si)∣Nt=n]E[∑i=1Nt(t−Si)∣Nt=n]=E[∑i=1Ntt∣Nt=n]−E[∑i=1NtSi∣Nt=n]=nt−E[∑i=1NtSi∣Nt=n]其中E[∑i=1NtSi∣Nt=n]由泊松到达时间的条件性质=E[∑i=1nUi]=nt2所以E[∑i=1Nt(t−Si)∣Nt=n]=nt2，E[∑i=1Nt(t−Si)∣Nt]=Ntt22.E(Ntt2)=E(Nt)t2=t2∑n=0+∞n(λt)nn!e−λt=λt22E(\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i))=E(E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t])\\ 1.先求E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t=n]\\ E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t=n]=E[\sum_{i=1}^{N_t}t|N_t=n]-E[\sum_{i=1}^{N_t}S_i|N_t=n]\\ =nt-E[\sum_{i=1}^{N_t}S_i|N_t=n]\\ 其中E[\sum_{i=1}^{N_t}S_i|N_t=n]由泊松到达时间的条件性质=E[\sum_{i=1}^{n}U_i]=\frac{nt}{2}\\ 所以E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t=n]=\frac{nt}{2}，E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t]=\frac{N_tt}{2}\\ 2.E(\frac{N_tt}{2})=E(N_t)\frac{t}{2}=\frac{t}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}n\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\\=\frac{\lambda t^2}{2} E(i=1∑Nt(t−Si))=E(E[i=1∑Nt(t−Si)∣Nt])1.先求E[i=1∑Nt(t−Si)∣Nt=n]E[i=1∑Nt(t−Si)∣Nt=n]=E[i=1∑Ntt∣Nt=n]−E[i=1∑NtSi∣Nt=n]=nt−E[i=1∑NtSi∣Nt=n]其中E[i=1∑NtSi∣Nt=n]由泊松到达时间的条件性质=E[i=1∑nUi]=2nt所以E[i=1∑Nt(t−Si)∣Nt=n]=2nt，E[i=1∑Nt(t−Si)∣Nt]=2Ntt2.E(2Ntt)=E(Nt)2t=2tn=0∑+∞nn!(λt)ne−λt=2λt2
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