扔鸡蛋问题-动态规划

这个问题是一个印度朋友问我的。

已知有e个鸡蛋，f层楼。问题是尽可能少的尝试，找出扔出鸡蛋不破的最高的楼层。

最开始我的思路是，如果只有一个鸡蛋，f层楼，毫无疑问，只能从一楼到二楼到三楼...依次尝试，这样f层楼最坏的情况下要进行f次尝试。为什么要考虑最坏的情况，因为我们要确保该结果包含所有可能的情况，下面再详细说。然后我分析两个鸡蛋，f层楼。然后我发现，如果有两个鸡蛋，就可以从第2层楼开始扔：如果破了，在用剩下的1个鸡蛋检查1楼；如果没破，两个鸡蛋升至4楼检查同理。如果有3个鸡蛋，f层楼，可以从4楼开始检查：如果破了，2个鸡蛋退至2楼检查同上；如果没破，3个鸡蛋升至8楼检查同理。这样我能确保在耗尽所有鸡蛋的同时，发现最高的楼层。然后开始选择楼层是2的e-1次方，e是鸡蛋的数量，如果不破，继续上升2的e-1次方，破了下降2的e-2次方。。。虽然麻烦点儿，但是理论可行，代码实现也没有问题。

然后我很高兴的告诉印度朋友我解决了这个问题。印度朋友听完我的解释后说跟标准答案不一样。后来一经分析，他指出了这个方法的破绽，我太天真，这个方法是没问题，可以发现扔鸡蛋不破的最高楼层，但并不是最少的尝试。

然后告诉我这个题是有关动态规划。动态规划就是大量递归，但是存在重复计算，因此在开始递归的时候把结果保存在表里面，这样下次用到直接从表里面找不用再次计算，稍微快一点。

然后了解的官方的解释。假设有f层楼，e个鸡蛋。我们用一个表达式E(f, e)来表示这个扔鸡蛋问题的最优答案，即：在有n个鸡蛋f层楼的情况下，找出扔鸡蛋不破的最高楼层的最少尝试次数。然后开始考虑，首先从那一层楼开始扔，结果最佳？前面我尝试过从2的e-1次方层开始仍，但印度老哥已经证明这个方法有问题。所以，该从哪里扔？答案是不知道，至少我不知道。但是我知道计算机速度很快，我们完全可以枚举出所有的可能，然后从里面找出最优解。那就行了，假设先从k层楼往下扔，答案是多少？首先来到k层，扔出去鸡蛋，进行了1次尝试。然后需注意，扔出去鸡蛋的时候，会产生两种结果，一种是鸡蛋破了，一种鸡蛋没破。这两种情况实际只有一种情况会发生。但是我们应该考虑最坏的情况，也就是上界，确保这个上界能够cover两种情况。首先鸡蛋破了，我们知道还剩下e-1个鸡蛋，还知道最高的楼层肯定在k层以下，但不知道就那一层，所以这个时候用E(k-1, e-1)来表示后面最后的操作。如果没破，知道手里还有e个鸡蛋，而且最高楼层肯定在k层以上，只需检查以上的楼层，那就是E(f-k, e)来表示后面的最后操作。所以在k层开始仍的最优解是1+max(E(k-1, e-1), E(f-k, e))。然后因为我们有f层，所以k的值就是从1到f，也就是我们在先从那层楼开始仍这一问题上有f个选择，都可以用递归表达式表示出来。然后我们要做的就是从里面找出最小值，就是E(f, e)的最终答案。

熟悉递归的朋友肯定知道，我们必须知道base case的具体数，不然没法用递归。这里的base case有两个：如果有1个鸡蛋，f层楼，结果会是多少？是f；如果有e个鸡蛋1层楼，结果是多少？是1。然后就行了，有了base case，有了递归表达式，这个问题就解决了。

然后我是用了一个二维数组做记录，比纯递归能快多少没研究，不过总体效率不高。以后有空会去看一下官方的解法，目前没兴趣。基本跟二叉树的写法差不多。印度老哥号称深谙这“简单的 ”二叉树，结果连这个递归写不出来。不懂装懂的人还是挺多。

public class EggDrop
{private int[][] resultSet;private int floor;private int egg;public EggDrop(int floor, int egg){resultSet = new int[floor+1][egg+1];this.floor = floor;this.egg = egg;for(int i = 0; i < egg+1; i++){resultSet[0][i] = 0;resultSet[1][i] = 1;}for(int j = 0; j < floor+1; j++){resultSet[j][0] = 0;resultSet[j][1] = j;}}public int minTry() { return minTry(floor, egg); }private int minTry(int floor, int egg){if(floor == 0 || egg == 0 || resultSet[floor][egg] != 0)return resultSet[floor][egg];int min = Integer.MAX_VALUE;for(int i = 0; i < floor; i++){int temp = 1 + Math.max(minTry(floor-i-1, egg-1), minTry(i, egg));if(temp < min) min = temp;}resultSet[floor][egg] = min;return min;}public static void main(String[] args){int floor = 20;int egg = 8;EggDrop eggDrop = new EggDrop(floor, egg);System.out.println(eggDrop.minTry());int count = 0;for(int i = 0; i < floor+1; i++){for(int j = 0; j < egg+1; j++){if(count < egg){count++;System.out.print(eggDrop.resultSet[i][j] + " ");}else{System.out.println(eggDrop.resultSet[i][j]);count = 0;}}}}
}

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