余子式与代数余子式的辨析应用

余子式：直接划掉第i行第j列剩余的元素的行列式的值，简单粗暴。

余子式用 Mij表示 M_{ij}表示

代数余子式：需要考虑到按照余子式这样划掉元素以后，代数符号变动是什么。

代数余子式用 Aij表示 A_{ij}表示

二者之间的表达式互转

Mij=(−1)i+jAij M_{ij} = (-1)^{i+j}A_{ij}
Aij=(−1)i+jMij A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

这个互换本身是显而易见的，但是不提出来反而很多时候不知道这个可以用起来。

下面需要重点关注的是代数余子式在行列式展开中的运用。
|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin∑nj=1aijAij,按行展开式 |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} +... + a_{in}A_{in} \sum_{j = 1}^na_{ij}A_{ij},按行展开式

|A|=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj∑ni=1aijAij,按行展开式,按列展开 |A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} +... + a_{nj}A_{nj} \sum_{i = 1}^na_{ij}A_{ij},按行展开式 ,按列展开

特别需要提出的是：代数余子式自带符号，无需画蛇添足，再补一个 (−1)i+j (-1)^{i+j}，这是余子式才需要的。

下面的题目再看的时候卡顿了许久，因此提出来记录一下。

D4的某行元素全为2，D4 = 3,则 ∑4i=1∑4j=1Aij=? \sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^4A_{ij} = ?

题目非常简洁，具体计算如下：不妨设行列式第一行全为2，那么：

D4=∣∣∣∣∣∣∣2a21a31a412a22a32a422a23a33a432a24a34a44∣∣∣∣∣∣∣ D4 = \left| \begin{array}{cccc} 2 &2 & 2 & 2 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} &a_{44} \end{array}\right|

这个行列式按照第一行展开呢就是：
D4=2A11+2A12+2A13+2A14=3 D4 = 2A_{11} + 2A_{12} + 2A_{13} + 2A_{14} = 3

按照第二行展开就是：
D4=a21A21+a22A12+a23A13+a24A14=3 D4 = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} + a_{24}A_{14} = 3
同理可以写出其他行的展开形式。

如果把当前行用其他数据替换，那么行列式变成了什么呢？
答案就是直观的替换这行得到的行列式。

因此，对于当前这个D4行列式，我们知道的是有一行全为2，这是固定的。

那么：

∑4i=1∑4j=1Aij=(A11+A12+A13+A14)+(A21+A22+A23+A24)+(A31+A32+A33+A34)+(A41+A42+A43+A44) \sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^4A_{ij} = (A_{11} + A_{12}+A_{13} + A_{14})+ (A_{21} + A_{22}+A_{23} + A_{24})+ (A_{31} + A_{32}+A_{33} + A_{34})+ (A_{41} + A_{42}+A_{43} + A_{44})

由第一行展开式我们知道： A11+A12+A13+A14)=32 A_{11} + A_{12}+A_{13} + A_{14}) = {3\over 2}

而 A21+A22+A23+A24==1⋅A21+1⋅A22+1⋅A23+1⋅A24=∣∣∣∣∣∣∣21a31a4121a32a4221a33a4321a34a44∣∣∣∣∣∣∣=0 A_{21} + A_{22}+A_{23} + A_{24} = = 1\cdot A_{21} + 1\cdot A_{22}+1\cdot A_{23} + 1\cdot A_{24} = \left|\begin{array}{cccc} 2 &2 & 2 & 2 \\ 1&1&1&1 \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\ \end{array}\right| = 0

同理， A31+A32+A33+A34=0 A_{31} + A_{32}+A_{33} + A_{34} = 0

A41+A42+A43+A44=0 A_{41} + A_{42}+A_{43} + A_{44} = 0

所以题目答案是： 32 3\over 2

以上。

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