本原勾股数组

本原勾股数组(简称PPT)是一个三元组(a,b,c),其中a,b,c没有公因数,且满足

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2

下面的定理可以求它的所有解。

勾股数组定理

每个本原勾股数组都可以由以下公式得出:
a=st,b=s2−t22,c=s2+t22a=st,b=\frac{s^2-t^2}{2},c=\frac{s^2+t^2}{2}a=st,b=2s2−t2​,c=2s2+t2​

其中s>t⩾1.s>t\geqslant1.s>t⩾1.

证明

证明分两部分,一是正证(推出定理),二是反证(定理反推)。

(一)正证

从公式 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2可知,a与b的奇偶性不同且c为奇数。(通过假设排除可得)

通过因式分解,我们可以得到:
a2=(c−b)(c+b)a^2=(c-b)(c+b)a2=(c−b)(c+b)

(实际列举时发现(c-b)和(c+b)都是平方数,那如何证明呢?)

首先可以证明(c-b)和(c+b)都没有公因数。

证明如下:
假设d是(c-b)和(c+b)的公因数,则
d|(c-b)+(c+b)
d|(c-b)-(c+b)
化简如下:
d|2c
d|2b
根据条件可知c和b没有公因数,所以d=1/2
又因为d|a^2  所以d=1
证毕。

其次,通过素数唯一分解定理可知

对于 a2=(c−b)(c+b)a^2=(c-b)(c+b)a2=(c−b)(c+b) 来说,只有当c−bc-bc−b 和 c+bc+bc+b 本身都是平方数时,该式才能成立。

所以可以记成:c−b=s2c-b=s^2c−b=s2 ,c+b=t2c+b=t^2c+b=t2

整理后可得:
a=st,b=s2−t22,c=s2+t22a=st,b=\frac{s^2-t^2}{2},c=\frac{s^2+t^2}{2}a=st,b=2s2−t2​,c=2s2+t2​

其中s>t⩾1s>t\geqslant1s>t⩾1 且 gcd(s,t)=1gcd(s,t)=1gcd(s,t)=1

(二)反证

首先,通过代数运算可得:
(st)2+(s2−t22)2=(s2+t22)2(st)^2+(\frac{s^2-t^2}{2})^2=(\frac{s^2+t^2}{2})^2(st)2+(2s2−t2​)2=(2s2+t2​)2

然后还要证明(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)无公因数

通过(s,t)(s,t)(s,t)无公因数这个条件,分别用反证法证明(st,s2−t22)(st,\frac{s^2-t^2}{2})(st,2s2−t2​) (st,s2+t22)(st,\frac{s^2+t^2}{2})(st,2s2+t2​) (s2−t22,s2+t22)(\frac{s^2-t^2}{2},\frac{s^2+t^2}{2})(2s2−t2​,2s2+t2​)都没有公因数即可。
(自己写的太冗余了就不放出来了- -)

结尾

其实数论不仅有公式,还有证明。看一下还蛮有意思的,下次更新 线性同余定理!

参考书目:《A Friendly Introduction to Number Theory》

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