哈夫曼树构造哈夫曼编码

在传输文字时，经常要将文字转换成二进制字符串。所以我们希望编码最短，但是又想保证它的唯一性。哈夫曼树具有最小带权路径长度，用来实现编码就可以编码最短，所以用哈夫曼树来构造编码。而前缀编码就可以保证在解码的时候不会出现多种可能，就实现了唯一性，前缀编码指的是任意一组编码都不是其他任意组编码的前缀（如a的编码是1，而b的编码是11，这样明显a的编码1是b的编码的前缀）。而我们的哈夫曼编码就是一种前缀编码。

首先我们先要明白对于有n0个叶子节点的哈夫曼树，一共有2 * n0 - 1个节点。因为由二叉树性质可知n0 = n2 + 1，即 n2 = n0 - 1，而二叉树中不存在度为1的节点，即n1 = 0，n = n0 + n1 + n2 = n0 + n2 = n0 + n0 - 1 = 2 * n0 - 1。

创建哈夫曼树

首先我们先要创建哈夫曼树才能构造哈夫曼编码，而创建哈夫曼树的算法的思路是，用数组ht[]来存放哈夫曼树，将先将叶子节点放在数组ht[0,n0]位置（叶子节点的数组的范围为[0,n0) )，然后处理非叶子节点放在ht[n0,2 * n0 - 1] (非叶子节点的数组的范围为[n0,2 * n0 - 1) )：在ht[i]到ht[i - 1]中找到最小的两个节点ht[lnode]和ht[rnode]，作为ht[i]的左、右子树，如此循环到n0 - 1个个非叶子节点处理完。

完整的创建哈夫曼树的动图：

构造哈夫曼树的代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;typedef struct {char data;          //节点值double weight;     //权重int parent;         //双亲节点int lchild;           //左孩子节点int rchild;          //右孩子节点
}HTNode;//构造哈夫曼树
//ht[]数组来存储哈夫曼树 n0为叶子节点的个数
void creatHT(HTNode ht[], int n0) {double min1, min2;int lnode, rnode;//将所有结点的子父母节点都初始化for (int i = 0; i < 2 * n0 - 1; i++) {ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = -1;}//从第n0个开始 因为[0,n0-1]放的是叶子结点而叶子结点要自己另外放入for (int i = n0; i < 2 * n0 - 1; i++) {min1 = min2 = 10000;     // 先初始化一个很大的值以便后面查找最小值lnode = rnode = -1;for (int k = 0; k <= i - 1; k++) {// 只在还未构造的二叉树内查找if (ht[k].parent == -1) {  //查找最小的两个数if (ht[k].weight < min1) {min2 = min1;  rnode = lnode;min1 = ht[k].weight; lnode = k;}else if(ht[k].weight < min2) {min2 = ht[k].weight;rnode = k;}}}//双亲节点的权重等于左孩子节点的权重加上右孩子节点的权重ht[i].weight = ht[lnode].weight + ht[rnode].weight;    //ht[i]为双亲结点ht[i].lchild = lnode;  ht[i].rchild = rnode;// ht[lnode] 和 ht[rnode]的双亲结点的位置是iht[lnode].parent = ht[rnode].parent = i;   }
}int main() {HTNode ht[N];HCode hcd[N];//设A的权重为1 B为2 C为3 D为4for (int i = 0; i < 4; i++) {ht[i].data = 'A' + i;ht[i].weight = 1 + i;}creatHT(ht, 4);return 0;
}

构造哈夫曼编码

构造哈夫曼编码的算法思路为，只需要对叶子节点构造哈夫曼编码，用cd[start,n0]来存放当前节点的哈夫曼编码，在对叶子节点ht[i]，找其双亲结点ht[f]，如果ht[i]是ht[f]的左孩子则在hcd[i].cd数组中添加0，若是右孩子则添加1，然后将start--。再对ht[f]的双亲结点进行刚才操作，直到其没有双亲结点则退出。

列举一个构造哈夫曼编码的动图：

构造哈夫曼树的代码如下：

void creatHCode(HTNode ht[], HCode hcd[], int n0) {HCode hc;int f, c;//只用给叶子结点生成哈夫曼树for (int i = 0; i < n0; i++) {hc.start = n0;          c = i;f = ht[i].parent;// 循环到无双亲结点为止while (f != -1) {if (ht[f].lchild == c) {         // 当前结点是左孩子的时候hc.cd[hc.start--] = '0';}else{                           // 当前结点是右孩子的时候hc.cd[hc.start--] = '1';}c = f;              //查找下一个  将孩子节点指向双亲结点f = ht[f].parent;  //将双亲结点指向双亲结点的双亲结点}hc.start++;        //start要指向哈夫曼编码的开始值 因为while循环结束还自减了1 所以要把他加回来hcd[i] = hc;  //将临时的hc存储到hcd里}
}

完整的用哈夫曼树构造哈夫曼编码如下：

#include <iostream>
#define N 10
using namespace std;typedef struct {char data;          //节点值double weight;     //权重int parent;         //双亲节点int lchild;           //左孩子节点int rchild;          //右孩子节点
}HTNode;typedef struct {char cd[N];         //用来存储哈夫曼编码int start;           //表示哈夫曼编码的开始下标 则cd[start,n0]范围是哈夫曼编码
}HCode;//构造哈夫曼树
//ht[]数组来存储哈夫曼树 n0为叶子节点的个数
void creatHT(HTNode ht[], int n0) {double min1, min2;int lnode, rnode;//将所有结点的子父母节点都初始化for (int i = 0; i < 2 * n0 - 1; i++) {ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = -1;}//从第n0个开始 因为[0,n0-1]放的是叶子结点而叶子结点要自己另外放入for (int i = n0; i < 2 * n0 - 1; i++) {min1 = min2 = 10000;    // 先初始化一个很大的值以便后面查找最小值lnode = rnode = -1;for (int k = 0; k <= i - 1; k++) {if (ht[k].parent == -1) {   // 只在还未构造的二叉树内查找//查找最小的两个数if (ht[k].weight < min1) {min2 = min1;  rnode = lnode;min1 = ht[k].weight; lnode = k;}else if(ht[k].weight < min2) {min2 = ht[k].weight;rnode = k;}}}ht[i].weight = ht[lnode].weight + ht[rnode].weight;     //双亲节点的权重等于左孩子节点的权重加上右孩子节点的权重ht[i].lchild = lnode;   //ht[i]为双亲结点ht[i].rchild = rnode;ht[lnode].parent = ht[rnode].parent = i;   // ht[lnode] 和 ht[rnode]的双亲结点的位置是i}
}void creatHCode(HTNode ht[], HCode hcd[], int n0) {HCode hc;int f, c;//只用给叶子结点生成哈夫曼树for (int i = 0; i < n0; i++) {hc.start = n0;            c = i;f = ht[i].parent;// 循环到无双亲结点为止while (f != -1) {if (ht[f].lchild == c) {         // 当前结点是左孩子的时候hc.cd[hc.start--] = '0';}else{                           // 当前结点是右孩子的时候hc.cd[hc.start--] = '1';}c = f;              //查找下一个  将孩子节点指向双亲结点f = ht[f].parent;  //将双亲结点指向双亲结点的双亲结点}hc.start++;        //start要指向哈夫曼编码的开始值 因为while循环结束还自减了1 所以要把他加回来hcd[i] = hc;  //将临时的hc存储到hcd里}
}int main() {HTNode ht[N];HCode hcd[N];//设A的权重为1 B为2 C为3 D为4for (int i = 0; i < 4; i++) {ht[i].data = 'A' + i;ht[i].weight = 1 + i;}creatHT(ht, 4);creatHCode(ht, hcd, 4);for (int i = 0; i < 4; i++) {//强制类型转换cout << (char)('A' + i) << "的哈夫曼编码为： ";//因为cd[]数组的下标是从start开始递减存储的，而start最开始是等于n0，所以j<=4for (int j = hcd[i].start; j <= 4; j++) {cout << hcd[i].cd[j];}cout << endl;}return 0;
}

运行结果是：