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原文出处：拓端数据部落公众号

假设有时间序列数据，如下所示。经验表明，目标变量y似乎与解释变量x有关。然而，乍一看，y在水平中间波动，所以它似乎并不总是有稳定的关系（背后有多个状态）。

上面的样本数据创建如下。x和y之间的关系数据根据时间改变。

x <- rpois(500, lambda = 10)
y1 <- x * 4 + 20
y2 <- x * 2 + 60    noise <- rnorm(1:500, mean = 10, sd = 5)
y1 <- y1 + noise
y2 <- y2 + noisey <- c(y1[1:200], y2[201:400], y1[401:500])observed <- data.frame(x = x, y = y)

x和y1，y2之间的关系如下图所示。

数据

在马尔可夫转换模型中，观察数据被认为是从几个状态生成的，并且如上所示可以很好地分离。

观察到的数据

创建马尔可夫转换模型

模型公式


# Call:
# lm(formula = y ~ x, data = observed)
#
# Residuals:
#     Min      1Q  Median      3Q     Max
# -24.303  -9.354  -1.914   9.617  29.224
#
# Coefficients:
#             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)  45.7468     1.7202   26.59   <2e-16 ***
# x             3.2262     0.1636   19.71   <2e-16 ***
# ---
# Signif. codes:
# 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 11.51 on 498 degrees of freedom
# Multiple R-squared:  0.4383, Adjusted R-squared:  0.4372
# F-statistic: 388.7 on 1 and 498 DF,  p-value: < 2.2e-16

参数的含义是

k：马尔可夫转换模型的状态数。在这里，它被指定为后面有两个状态。
sw：指定每个参数在状态更改时是否更改
p：AR模型系数
family:(在GLM的情况下）概率分布族

 # 马尔可夫转换模型#
#        AIC      BIC    logLik
#   3038.846 3101.397 -1513.423
#
# Coefficients:
#
# Regime 1
# ---------
#                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S)  69.3263     4.0606 17.0729   <2e-16 ***
# x(S)             2.1795     0.1187 18.3614   <2e-16 ***
# y_1(S)          -0.0103     0.0429 -0.2401   0.8103
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 4.99756
# Multiple R-squared: 0.6288
#
# Standardized Residuals:
#           Min            Q1           Med            Q3           Max
# -1.431396e+01 -2.056292e-02 -1.536781e-03 -1.098923e-05  1.584478e+01
#
# Regime 2
# ---------
#                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S)  30.2820     1.7687 17.1210   <2e-16 ***
# x(S)             3.9964     0.0913 43.7722   <2e-16 ***
# y_1(S)          -0.0045     0.0203 -0.2217   0.8245
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 4.836684
# Multiple R-squared: 0.8663
#
# Standardized Residuals:
#           Min            Q1           Med            Q3           Max
# -13.202056966  -0.771854514   0.002211602   1.162769110  12.417873232
#
# Transition probabilities:
#             Regime 1    Regime 2
# Regime 1 0.994973376 0.003347279
# Regime 2 0.005026624 0.996652721

输出中的区制1和区制2表示模型的两个状态。

# Regime 1
# ---------
#                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S)  69.3263     4.0606 17.0729   <2e-16 ***
# x(S)             2.1795     0.1187 18.3614   <2e-16 ***
# y_1(S)          -0.0103     0.0429 -0.2401   0.8103

可以看到区制2 与y1 <- x * 4 + 20匹配。

从调整后的R方值看整体上有所改善。

# Regime 2
# ---------
#                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S)  30.2820     1.7687 17.1210   <2e-16 ***
# x(S)             3.9964     0.0913 43.7722   <2e-16 ***
# y_1(S)          -0.0045     0.0203 -0.2217   0.8245

模型

对于每个状态，处于该状态的概率以阴影绘制

每个时间点的概率

每次获取状态和更改点

如果你想知道你在某个特定时间点所在的regime，那么就选择那个时刻概率最高的。

> probable[1] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2[30] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
...

异常值/变化点是状态更改的时间

c(FALSE, diff(probable) != 0)[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE[11] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
...
[181] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[191] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE
[201] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
...
[381] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[391] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE
[401] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
...
[491] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

因此，我们可以看到检测到在第一次数据创建时指定的变化点。

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