Break Point 对成长函数的限制

回顾上一节提到的4个成长函数：

假设对于一个问题，minimum break point k = 2（对于任意2个输入，H不能穷尽所有划分），基于该条件我们做出推论：

即当 N=2 时，成长函数一定 < 2^2=4，所以此时成长函数的 maximum possible value = 3。

当 N=3 时，我们看看成长函数的 maximum possible value 等于多少？

任意3个输入（x1, x2, x3），我们一定能找到以下3个合法的划分：

在寻找更多划分之前，我们要明确一点就是因为k=2，所以（x1, x2, x3）中任意2个点都不能被shatter，所以下面这个划分不可能出现，因为（x2, x3）所有4种可能的划分被穷尽了：

但是接下来的划分就可能了：

再之后，你发现不论再寻找什么划分，总有两个点被shatter：

所以，N=3时成长函数的maximum possible value就是 4 了。而且 4 << 2^3=8。

综上我们发现，当 N > break point k，成长函数的maximum possible value显著下降并远小于 2^N。

上一节课最后提出了一个猜测：

如果下面的不等式成立，则猜测一定成立：

边界函数 Bounding Function（成长函数的上限）

边界函数 Bounding Function B(N,k) 的定义：

根据之前讨论的结果，我们知道：

所以有：

当k=1时，给定任意N个输入，只能有一种划分的可能，因为任何第二种划分都会导致有一个点被shatter，这与k=1相悖，所以：

当 N<k 时，N个输入一定都能被shatter，所以 B(N,k)=2^N：

当 N=k时，首次出现N个输入不能被Shatter，所以 B(N,k)=2^N - 1 一定没错：

综上，在确定B(N,k)的过程中我们已经把软柿子都捏了，现在讨论N>k的情况。

根据上图，B(3,2)=B(2,1)+B(2,2)=1+3=4；B(3,3)=B(2,2)+B(2,3)=3+4=7。。。

我们猜测 B(N,k) 与 B(N-1, k-1) + B(N-1, k) 也许有关系。

以B(4,3)为例，4个输入中任意3个都不能被shatter，用一个简单的程序遍历所有2^16个划分组合得到B(4,3)=11。

那些数学家们把这11个划分很鸡贼的分成两组（╮(╯▽╰)╭）：

其中橙色的划分总能找到自己相似的“伴侣”，它与“伴侣”的（x1, x2, x3）相等，x4相反，有 2α 个；

紫色的划分总是“单身”，他找不到那个（x1, x2, x3）与它相等的“伴侣”，有 β 个。

所以：  

由于k=3，所以（x1, x2, x3）不能被shatter：

由于x4成对，且（x1, x2, x3, x4）不能shatter任意3个，所以（x1, x2, x3）不能shatter任意2个：

所以

最终

 -----------------（1）

边界函数的成长性为O(N^(k-1))。

不等式（1）可以用数学归纳法证明：

实际上，不等式（1）中的等号是恒成立的，证明如下：

证明来自课程论坛，这位仁兄的ID是：Kai-Chi Huang

对 VC Bound 的图像化证明

把备选函数集H中备选函数的数量M用成长函数代替，我们得到：

但是用林老师的话说，这个公式是个“数学上错误的版本”，不能直接使用，正确的公式应该是：

我们看看这些多出来的系数都是怎么来的。

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首先，E-out(h)衡量的是h在全体输入上的错误，全体输入包含了未知的无限多个输入，所以我们想在训练数据集D之外再搞一个测试数据集D'，然后用E'-in(h)代替E-out(h)，我们把D'叫做 Ghost Data（鬼魂数据？幻影数据？what ever..）。

如果存在h在D上使得

那么有很大概率使得h在D'上得到的错误 E'-in(h)与E-out(h)的距离相比E-in(h)与E-out(h)应该更近：

结合图片解释就是，样本犯错的比例有很大的概率接近全体犯错的比例，所以下面的不等式成立：

因为

所以以上这两个事件没有交集，故：

综合不等式（1）和（2）得到：

所以

（以上证明过程来自课程论坛 by @hsiao-fei liu）

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上述不等式两边乘以2，右侧是事件【BAD】，左侧是事件发生概率的一个上边界，如果我们用去重后的Union Bound拓展这个边界，得到：

----（3）

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进一步，做一个等效替换：

相当于我们关心D上的错误与（D+D'）上的错误之间的差距

不等式（3）变成：

这就是VC Bound：

它提供了一个对机器学习结果可靠性的衡量，因为成长函数是N的多项式，所以BAD事件发生的概率随着N的增大而显著下降。

需要强调的是，以上所讲的只适用于二元分类问题，因为我们在推导 break point、成长函数和边界函数时一直都基于二元分类这一前提。