题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1122/

在古埃及，人们使用单位分数的和（形如1a\frac{1}{a}a1的，aaa是自然数）表示一切有理数。如：23=12+16\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}32=21+61，但不允许 23=13+13\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}32=31+31，因为加数中有相同的。对于一个分数ab\frac{a}{b}ba，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如：1945=13+112+11801945=13+115+1451945=13+118+1301945=14+16+11801945=15+16+118\frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{180}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{45}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}+\frac{1}{30}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{180}\\ \frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}4519=31+121+18014519=31+151+4514519=31+181+3014519=41+61+18014519=51+61+181最好的是最后一种，因为 118\frac{1}{18}181比1180\frac{1}{180}1801，145\frac{1}{45}451，130\frac{1}{30}301，1180\frac{1}{180}1801都大。注意，可能有多个最优解。如：59211=14+136+1633+1379859211=16+19+1633+13798\frac{59}{211}=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798}\\ \frac{59}{211}=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798}21159=41+361+6331+3798121159=61+91+6331+37981由于方法一与方法二中，最小的分数相同，因此二者均是最优解。给出a,ba,ba,b，编程计算最好的表达方式。保证最优解满足：最小的分数≥1107≥\frac{1}{10^7}≥1071。

输入格式：
一行两个整数，分别为aaa和bbb的值。

输出格式：
输出若干个数，自小到大排列，依次是单位分数的分母。

数据范围：
0<a<b<10000<a<b<10000<a<b<1000

思路是迭代加深。其实就是直接枚举每个单位分数的分母，找到最优答案即可。在分解ab\frac{a}{b}ba的时候，如果不限制深度，容易走到非常深的位置还不一定能找到最优解，所以最好的办法还是迭代加深。对于DFS每一层，设当前深度是ddd，就枚举第ddd个数的分母可以取哪些数。我们可以逐层按照分母从小到大枚举，这样第ddd个数的分母首先要严格大于上一层枚举的分母。其次，设当前层还需要凑出的分数是ab\frac{a}{b}ba，先对其约分，如果a=1a=1a=1了，那么就找到了一个解，查看其是否更优（即其最大分母是不是小于之前找到的解的最大分母），如果更优则覆盖之前的解（当然如果之前没找到解，那么当前解直接覆盖）；否则开始枚举一个分数，设当前枚举的数是1x\frac{1}{x}x1，首先有1x<ab\frac{1}{x}<\frac{a}{b}x1<ba，所以有x>bax>\frac{b}{a}x>ab，由于a≠1a\ne 1a=1，所以其等价于x≥⌊ba⌋+1x\ge \lfloor \frac{b}{a}\rfloor + 1x≥⌊ab⌋+1；此外，由于是按照分母从小到大枚举的，设当前DFS设定的最大深度是DDD，那么还需要枚举D−d+1D-d+1D−d+1个数（包括本层枚举的数），所以有(D−d+1)1x>ab(D-d+1)\frac{1}{x}>\frac{a}{b}(D−d+1)x1>ba，即x≤⌊ba(D−d+1)⌋x\le\lfloor\frac{b}{a}(D-d+1)\rfloorx≤⌊ab(D−d+1)⌋。所以只需枚举这个范围内的数即可。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 1e7;
int res[N], tmp[N];// 求a和b的最大公约数，用于约分
long gcd(long a, long b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;
}// u表示本层应该从哪里开始枚举分母
bool dfs(int u, long a, long b, int depth, int max_depth) {if (depth == max_depth) {if (a == 1) {// 如果分母大于了10^7，则与题目给出的数据范围不符，直接返回falseif (b > 1e7) return false;tmp[depth - 1] = (int) b;// 如果是第一次算出解，或者已经算出的解不够最优，则更新答案if (!res[0] || b < res[depth - 1]) {memcpy(res, tmp, depth * (sizeof(int)));}return true;}return false;}bool found = false;// 枚举当前层的分数的分母for (int i = max(u, (int) (b / a) + 1); i <= b / a * (max_depth - depth + 1); i++) {// 用long以防溢出long nx = a * i - b, ny = b * i;// 做约分long g = gcd(nx, ny);nx /= g, ny /= g;// 存储一下当前选择tmp[depth - 1] = i;// 当前选的分母是i，下一层至少要从i + 1开始枚举分母if (dfs(i + 1, nx, ny, depth + 1, max_depth)) found = true;}return found;
}int main() {int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);int g = (int) gcd(a, b);a /= g, b /= g;int max_depth = 1;while (!dfs(2, a, b, 1, max_depth))max_depth++;for (int i = 0; i < max_depth; i++)printf("%d ", res[i]);printf("\n");return 0;
}

时间复杂度指数级，空间取决于具体输入的搜索深度。

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【ACWing】1120. 埃及分数

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