arcsin⁡(x)\arcsin(x)arcsin(x) 的麦克劳林展开

let f(x)=arcsin⁡xf′=11−x2⇒f′⋅1−x2=1⇒f′′⋅(1−x2)−xf′=0（两边同时求导）⇒(n0)(1−x2)f(n+2)−(n1)2xf(n+1)−(n2)2f(n)=(n0)xf(n+1)+(n1)f(n)（利用莱布尼兹公式，两边 n 阶求导）\begin{aligned} \text{let}\ &f(x)=\arcsin{x} \\ &f' =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \Rightarrow &f' \cdot\sqrt{1-x^2} = 1 \\ \Rightarrow &f''\cdot(1-x^2)-xf'=0 \text{（两边同时求导）} \\ \Rightarrow &{n \choose 0}(1-x^2)f^{(n+2)} - {n \choose 1}2xf^{(n+1)} - {n \choose 2}2f^{(n)} = {n \choose 0}xf^{(n+1)} + {n \choose 1}f^{(n)} \text{（利用莱布尼兹公式，两边 n 阶求导）} \end{aligned} let ⇒⇒⇒f(x)=arcsinxf′=1−x21f′⋅1−x2=1f′′⋅(1−x2)−xf′=0（两边同时求导）(0n)(1−x2)f(n+2)−(1n)2xf(n+1)−(2n)2f(n)=(0n)xf(n+1)+(1n)f(n)（利用莱布尼兹公式，两边 n 阶求导）
因为 f′(0)=1,f′′(0)=0f'(0)=1, f''(0)=0f′(0)=1,f′′(0)=0，所以可以求出：
f(n)(0)={0n为偶数1n=1((2k−1)!!)2n=2k+1f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0 & n \text{为偶数}\\ 1 & n=1 \\ ((2k-1)!!)^2 & n=2k+1 \end{cases} f(n)(0)=⎩⎪⎨⎪⎧01((2k−1)!!)2n为偶数n=1n=2k+1
所以 arcsin⁡x=x+13!x3+(3!!)25!x5+(5!!)27!x7+⋯+[(2k−1)!!]2(2k+1)!x2k+1+o(x2k+2)\arcsin{x} = x + \frac{1}{3!}x^3 +\frac{(3!!)^2}{5!}x^5 + \frac{(5!!)^2}{7!}x^7 + \cdots + \frac{[(2k-1)!!]^2}{(2k+1)!}x^{2k+1} + o(x^{2k+2})arcsinx=x+3!1x3+5!(3!!)2x5+7!(5!!)2x7+⋯+(2k+1)![(2k−1)!!]2x2k+1+o(x2k+2)

又因为拉格朗日余项趋于 0(n→∞)0\ (n\to\infty)0 (n→∞) 在 x∈[−1,1]x\in[-1,1]x∈[−1,1] 上成立。
所以：

arcsin⁡x=x+∑k=1∞(2k−1)!!2(2k+1)!x2k+1=x+∑k=1∞(2kk)14k(2k+1)x2k+1\begin{aligned} &\arcsin{x} = x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k-1)!!^2}{(2k+1)!}x^{2k+1} \\ &= x+ \sum_{k=1}^{\infty} \binom{2k}{k}\frac{1}{4^k(2k+1)}x^{2k+1} \end{aligned} arcsinx=x+k=1∑∞(2k+1)!(2k−1)!!2x2k+1=x+k=1∑∞(k2k)4k(2k+1)1x2k+1

$\arcsin{x}$ 的麦克劳林公式

arcsin⁡(x)\arcsin(x)arcsin(x) 的麦克劳林展开

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