最短路径Floyd算法图解与C++实现

邻接矩阵特征

Floyd算法建立在对图的邻接矩阵的操作上，理解Floyd首先要理解邻接矩阵

对于有向图，邻接矩阵的一行代表该顶点的出边，一列代表该顶点的入边

对于无向图则不区分出边与入边，邻接矩阵表示成一个对称矩阵

graph[i][j] 代表 i -> j ，由 i 直接到 j 的代价，graph[i][k] + graph[k][j]就表示 (i -> k) + (k -> j) ，即 i -> k -> j ，由 i 经 k 到 j 的代价

Floyd代码中有三层for循环，其中最内层for就是在操作这样一个值 + 一行值

下面以上图为例，分析Floyd算法运行过程

Floyd算法

Floyd算法中使用一个三维数组 ans[k][i][j]，表示可以经过的中间结点序号小于等于 k 时，顶点 i 到顶点 j 的最小代价

① ans[0][i][j]的值即邻接矩阵

② ans[1][i][j]的值即，可以经过顶点 1 ，各顶点对间最小代价，这个值是在ans[0][i][j]的基础上得到的。

经过顶点 1 有什么好处？

以前只有 i -> j 的边能用，现在 i -> 1 -> j 的边也能用了，表现在邻接矩阵上就是，以前的代价是graph[i][j]，现在可以是

graph[i][1] + graph[1][j]了，即在这个三维矩阵中ans[1][i][j]的值应该等于min{ans[0][i][j], ans[0][i][1] + ans[0][1][j]}，经过这样的比较，就将顶点 1 能产生的影响考虑了进去。

③ 同上，将所有顶点都考虑进去，就得到了整个图中顶点对的最短路径

代码实现与分析

代码中实际使用的是一个二维数组ans[i][j]，下面先给出代码，然后在解释代码中分析使用二维而不是三维的可行性

#include <iostream>using namespace std;
#define MAXN 110
int ans[MAXN][MAXN];int main() {int n, m; //n个顶点，序号为 1 到 n, m条边while (cin >> n >> m) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {ans[i][j] = -1; //不可达}ans[i][i] = 0;}for (int i = 0; i < m; i++) { //顶点u到顶点v,代价为wint u, v, w;cin >> u >> v >> w; //顶点从1开始编号ans[u][v] = w;ans[v][u] = w;}for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (ans[i][k] == -1 || ans[k][j] == -1)continue;if (ans[i][j] == -1 || ans[i][j] < ans[i][k] + ans[k][j])ans[i][j] = ans[i][k] + ans[k][j];}}}}}

代码的核心就是三层for循环，三个for各有各的作用。首先要明确的是，三层for的最终目的就是要求出ans[n][i][j]，ans[n][i][j]是将所有顶点能产生的影响都考虑进去时，各顶点对的最短路径。

①最内层for，k不变，i不变，j遍历所有顶点

比如k = 1，i = 3，j = 1...4，实现的是修改ans[3][j]，顶点 3 到各顶点最小代价，即第三行值，考虑的是顶点k = 1的影响，顶点k = 1能对顶点 3 产生的影响就是，从顶点 3 走向顶点 1 ，再从顶点1去各顶点，这个代价与原来不考虑1的哪个小，就是

ans[3][j] = min(ans[3][1] + ans[1][j], ans[3][j])，从图上来看，3->1，应该找3行1列，再1->*，应该找1行*列，将这两步代价相加即3->*代价，图上是深蓝方块去加浅蓝方块，再与对应黄色方块比较，并修改黄色方块

最内层for修改的是，考虑需要小于k的顶点时，矩阵第i行的值，是顶点 i 考虑顶点k后的结果

②中间层for，j 遍历各个顶点，每个顶点都考虑一次顶点k产生的影响，就是顶点k对整个图产生的影响

③最外层for，k 遍历各个顶点，整个矩阵对每个顶点的影响都考虑一次，就是所有顶点对整个图产生的影响，即最终所求

二维替代三维

现在再来说明为什么能用二维数组替代三维数组

最外层for每轮要将这个二维数组所有元素修改一遍，从代码中可以看出，用来比较的，即需要其值不被随意改动的是一行一列的元素，修改其他9个白色方块时自然不会对这7个蓝色方块造成影响，而修改蓝色方块时呢？

①深蓝：即j = k，ans[i][k] = min(ans[i][k] + ans[k][k], ans[i][k]) ，ans[k][k]是自己到自己一定为0

②浅蓝：即i = k，ans[k][j] = min(ans[k][k] + ans[k][j], ans[k][j])，ans[k][k]同样为0

可以看出两种情况都不会造成影响，蓝色方块在这一轮k中是固定不变的，从算法上理解就是要考虑的中间顶点是k，如果k是两端结点，那么某个顶点经过k再到k，这个值就是这个顶点直接到k的值，另一端同理，从k经k到某个顶点=从k到某个顶点

既然没影响，自然可以在原地修改数组中的元素值

这里需要特别注意的是，最外层for每轮计算一个顶点能产生的影响，这个影响是该顶点在当前状态下能产生的直接影响，也就是顶点1能产生的影响，并不是在计算过k=1之后就固定了，只是在算法运行过程中，先把顶点1的影响加入，在后续过程中持续发挥着作用

比如，

k = 0时只将graph[i][j]考虑进去，

k = 1时将graph[i][j]，graph[i][1] + graph[1][j]考虑进去

k = 2时将graph[i][j]，graph[i][1] + graph[1][j]，graph[i][1] + graph[1][2] + graph[2][j]，graph[i][2] + graph[2][j]考虑进去，此时顶点1的影响不仅局限于k = 1那一轮计算过的graph[i][1] + graph[1][j]，还有graph[i][1] + graph[1][2] + graph[2][j]，先经1再经2

k = 2时看似是比较了两个值，其实是将四种路径进行比较取最小值，这样到最后一轮，就是所有路径的最小值