今天读了一下《地理坐标（经纬度坐标）和屏幕坐标（xy坐标）间的转换》，觉得内容很好，特摘录和附上自己的解释。

背景

在我们的屏幕上，有一张地图，这张地图经过缩放、平移、旋转，最终地理坐标和屏幕坐标的关系大致如下图所示：

这种关系要怎么描述呢？我们可以假设地图是一张纸，而屏幕是一堵墙。只要我们有两个图钉，我们就能把纸定在墙上。我们把这两个点称为锚点。锚点在屏幕坐标系上的坐标是(x1,y1)和(x2,y2)，对应在地理坐标系上的坐标是(lon1,lat1)和(lon2,lat2)。

那现在的问题就变成了，已知两个锚点的坐标，

（1）地理坐标转屏幕坐标：已知任意一点的地理坐标(lon,lat)，求它在屏幕上的坐标(x,y)

（2）屏幕坐标转地理坐标：已知任意一点的屏幕坐标(x,y)，求它的经纬度坐标(lon,lat)

lon 表示 longitude (纬度)
lat 表示 latitude (经度)
x,y 表示屏幕上的只是一个任意位置的坐标点

转换算法

1、铺垫内容-地理坐标平面化

在一个小范围内（例如是方圆几公里内），我们可以假设地面是平的，而不是弯的。如果经纬度都用弧度表示，那么1纬度方向对应的长度是：

1 纬度方向长度 = R ⋅ l a t 1 纬度方向长度 = R \cdot lat 1纬度方向长度=R⋅lat

注意：此处的 lat 指的不是我们常用的纬度度数，而是纬度弧度。半径乘以弧度才能得到弧长！
度数 360 = 弧度 2 π \frac{度数}{360}=\frac{弧度}{2π} 360度数=2π弧度
故弧度 = 度数 ⋅ π 180 \cdot \frac{ \pi }{180} ⋅180π

其中 R R R 是地球半径。而相同经度间的距离会随着纬度的增加而减少，

在 l a t lat lat 这一纬度下，1经度方向对应的长度是：

1 经度方向长度 = R ⋅ cos ⁡ ( l a t ) ⋅ l o n 1 经度方向长度= R \cdot \cos{(lat)} \cdot lon 1经度方向长度=R⋅cos(lat)⋅lon

上式中的 R ⋅ cos ⁡ ( l a t ) R \cdot \cos{(lat )} R⋅cos(lat) 就是上图中的某一纬度下的切面的半径，然后在半径乘以弧度。

那么，(lon,lat)这个坐标平面化后的坐标就是： ( R ⋅ l o n ⋅ cos ⁡ ( l a t ) , R ⋅ l a t ) (R \cdot lon \cdot \cos{(lat)},R \cdot lat) (R⋅lon⋅cos(lat),R⋅lat)

故，此坐标可以作为我们在某一个小的平面范围内的类似于x、y的坐标

由于我们是假定在小范围内纬度是不变的，故此时若我们有两个经度不同的点，求经度长度的差时，应该遵循：

d l e n l o n = R ⋅ l o n 2 ⋅ c o s ( l a t ) − R ⋅ l o n 1 ⋅ c o s ( l a t ) = R ( l o n 2 − l o n 1 ) ⋅ c o s ( l a t ) dlen_{lon} = R \cdot lon_2 \cdot cos (lat) - R \cdot lon_1 \cdot cos (lat) = R(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat) dlenlon=R⋅lon2⋅cos(lat)−R⋅lon1⋅cos(lat)=R(lon2−lon1)⋅cos(lat)

其实上式中的求纬度长度差时用到的 l a t lat lat，使用 l a t 1 lat_1 lat1或者是 l a t 2 lat_2 lat2都对，因为我们在计算经度长度时视作一致。

如果求一个纬度长度差与经度长度差比值的话：

d l e n l a t d l e n l o n = R ⋅ l a t 2 − R ⋅ l a t 1 R ( l o n 2 − l o n 1 ) ⋅ c o s ( l a t ) \frac{dlen_{lat}}{dlen_{lon}} = \frac{R \cdot lat_2-R \cdot lat_1}{R(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat)} dlenlondlenlat=R(lon2−lon1)⋅cos(lat)R⋅lat2−R⋅lat1

好，我们上下同时除以 R R R，可得

= l a t 2 − l a t 1 ( l o n 2 − l o n 1 ) ⋅ c o s ( l a t ) = \frac{lat_2- lat_1}{(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat)} =(lon2−lon1)⋅cos(lat)lat2−lat1

又因为前面提到过，我们计算经度长度时视纬度为不变的，故我们随意地，把 l a t 2 lat_2 lat2 代给 l a t lat lat .

= l a t 2 − l a t 1 ( l o n 2 − l o n 1 ) ⋅ c o s ( l a t 2 ) = \frac{lat_2- lat_1}{(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat_2)} =(lon2−lon1)⋅cos(lat2)lat2−lat1

这里需要注意的是： l a t 2 − l a t 1 ( l o n 2 − l o n 1 ) \frac{lat_2- lat_1}{(lon_2 - lon_1 )} (lon2−lon1)lat2−lat1 是个比值，故用度数比和弧度比都一致。但是， c o s ( l a t 2 ) cos (lat_2) cos(lat2) 处只能是弧度，原文的代码中有特别指出。

此二者的比值可以方便我们：

在得到经度时根据比值关系获得纬度

或

在得到纬度时根据比值关系获得经度

换到解方程组里就是y通过某种关系变成了能用x表示的式子，方程中只剩下一个未知数后，便可以求解。此刻，我们已经得到经纬度的代数关系，下面就是去根据向量法来把问题拉回到一个点上的经纬度以及xy之间的关系。

2、核心内容-向量法

由已知点和未知点组成两组向量：

由于坐标系转换是线性变换，所以两组向量有以下特性：

（1）两向量在不同的坐标系中的长度比是相同的。
（2）两向量在不同的坐标系中的夹角是相同的。

根据上面两个特性，我们可列出方程组：

下面提到的 d ，应该只是简单代指 difference （差值）

设向量1为 ( d x 1 , d y 1 ) (dx_1,dy_1) (dx1,dy1)， ( d l o n 1 , d l a t 1 ) (dlon_1,dlat_1) (dlon1,dlat1)，向量2为 ( d x 2 , d y 2 ) ， ( d l o n 2 , d l a t 2 ) (dx_2,dy_2)，(dlon_2,dlat_2) (dx2,dy2)，(dlon2,dlat2)，

由于把经度长度差写成 d l e n l o n dlen_{lon} dlenlon 把纬度长度差写成 d l e n l a t dlen_{lat} dlenlat 比较麻烦，这里简写成了 d l o n dlon dlon 和 d l a t dlat dlat 因为长度嘛，只能是线段长、弧长的比，不可能是直接的度数比。这里适应一下，提醒一下自己。

其中

d x 1 = x 2 − x 1 dx_1=x_2-x_1 dx1=x2−x1， d y 1 = y 2 − y 1 dy_1=y_2-y_1 dy1=y2−y1， d l o n 1 = l o n 2 − l o n 1 dlon_1=lon_2-lon_1 dlon1=lon2−lon1， d l a t 1 = l a t 2 − l a t 1 dlat_1=lat_2-lat_1 dlat1=lat2−lat1

d x 2 = x − x 1 dx_2=x-x_1 dx2=x−x1 ， d y 2 = y − y 1 dy_2=y-y_1 dy2=y−y1 ， d l o n 2 = l o n − l o n 1 dlon_2=lon-lon_1 dlon2=lon−lon1， d l a t 2 = l a t − l a t 1 dlat_2=lat-lat_1 dlat2=lat−lat1，

然后

k 1 = n o r m ( d x 1 , d y 1 ) k_1=norm(dx_1,dy_1) k1=norm(dx1,dy1)

k 2 = n o r m ( d l o n 1 , d l a t 1 ) k_2=norm(dlon_1,dlat_1) k2=norm(dlon1,dlat1)

k 3 = n o r m ( d x 2 , d y 2 ) k_3=norm(dx_2,dy_2) k3=norm(dx2,dy2)

k 4 = n o r m ( d l o n 2 , d l a t 2 ) k_4=norm(dlon_2,dlat_2) k4=norm(dlon2,dlat2)

这里的 norm 函数我查了一下，就是求范数，根据《np.linalg.norm(求范数)》一文的介绍，向量的范数有计算公式，默认是求二范数，二范数就是向量的模长。

下面我们给出方程组：

根据前文中提到的 两向量在不同的坐标系中的长度比是相同的 可得到

k 1 k 2 = k 3 k 4 \frac{k_1}{k_2} = \frac{k_3}{k_4} k2k1=k4k3

本式当然可以写成：

d x 1 2 + d y 1 2 d l o n 1 2 + d l a t 1 2 = d x 2 2 + d y 2 2 d l o n 2 2 + d l a t 2 2 \frac{\sqrt{dx_1^2 + dy_1^2}}{\sqrt{dlon_1^2+dlat_1^2}} = \frac{\sqrt{dx_2^2 + dy_2^2}}{\sqrt{dlon_2^2+dlat_2^2}} dlon12+dlat12 dx12+dy12 =dlon22+dlat22 dx22+dy22

根据前文中提到的 两向量在不同的坐标系中的夹角是相同的

我们可得出以下四个式子：

① d x 1 k 1 = d x 2 k 3 （通过 x 求夹角 c o s 值） ① \frac{dx_1}{k_1} = \frac{dx_2}{k_3} （通过x求夹角 cos 值） ①k1dx1=k3dx2（通过x求夹角cos值）

② d y 1 k 1 = d y 2 k 3 （通过 y 求夹角 s i n 值） ② \frac{dy_1}{k_1} = \frac{dy_2}{k_3} （通过y求夹角 sin 值） ②k1dy1=k3dy2（通过y求夹角sin值）

③ d l o n 1 k 2 = d l o n 2 k 4 （通过经度求夹角 c o s 值） ③ \frac{dlon_1}{k_2} = \frac{dlon_2}{k_4} （通过经度求夹角 cos 值） ③k2dlon1=k4dlon2（通过经度求夹角cos值）

④ d l a t 1 k 2 = d l a t 2 k 4 （通过纬度求夹角 s i n 值） ④ \frac{dlat_1}{k_2} = \frac{dlat_2}{k_4} （通过纬度求夹角 sin 值） ④k2dlat1=k4dlat2（通过纬度求夹角sin值）

由 ① 乘以 ③ 可得：

⑤ d x 1 ⋅ d l o n 1 k 1 ⋅ k 2 = d x 2 ⋅ d l o n 2 k 3 ⋅ k 4 ⑤ \frac{dx_1 \cdot dlon_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dx_2 \cdot dlon_2}{k_3 \cdot k_4} ⑤k1⋅k2dx1⋅dlon1=k3⋅k4dx2⋅dlon2

由 ② 乘以 ④ 可得：

⑥ d y 1 ⋅ d l a t 1 k 1 ⋅ k 2 = d y 2 ⋅ d l a t 2 k 3 ⋅ k 4 ⑥ \frac{dy_1 \cdot dlat_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dy_2 \cdot dlat_2}{k_3 \cdot k_4} ⑥k1⋅k2dy1⋅dlat1=k3⋅k4dy2⋅dlat2

将 ⑤ 与 ⑥ 相加，即可得原文中提到的复合在一起的式子：

d x 1 ⋅ d l o n 1 + d y 1 ⋅ d l a t 1 k 1 ⋅ k 2 = d x 2 ⋅ d l o n 2 + d y 2 ⋅ d l a t 2 k 3 ⋅ k 4 \frac{dx_1 \cdot dlon_1 + dy_1 \cdot dlat_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dx_2 \cdot dlon_2 + dy_2 \cdot dlat_2}{k_3 \cdot k_4} k1⋅k2dx1⋅dlon1+dy1⋅dlat1=k3⋅k4dx2⋅dlon2+dy2⋅dlat2

故最后的方程组为：

{ k 1 k 2 = k 3 k 4 d x 1 ⋅ d l o n 1 + d y 1 ⋅ d l a t 1 k 1 ⋅ k 2 = d x 2 ⋅ d l o n 2 + d y 2 ⋅ d l a t 2 k 3 ⋅ k 4 \begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} \frac{k_1}{k_2} = \frac{k_3}{k_4} \\ \frac{dx_1 \cdot dlon_1 + dy_1 \cdot dlat_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dx_2 \cdot dlon_2 + dy_2 \cdot dlat_2}{k_3 \cdot k_4} \end{matrix}\right. \end{array} {k2k1=k4k3k1⋅k2dx1⋅dlon1+dy1⋅dlat1=k3⋅k4dx2⋅dlon2+dy2⋅dlat2

我再贴张用LaTeX公式编辑器绘制出的大图：

通过解上面的方程组，我们就能得到未知的屏幕坐标或未知的地理坐标。

为什么呢？别看推导过程中代数符号（变量名）很多，其实不确定的值只有：

( x , y ) 和 ( l o n , l a t ) (x,y)和(lon,lat) (x,y)和(lon,lat)

故，接下来就简单了：

将 ( x , y ) (x,y) (x,y)带入方程组就可以得到 ( l o n , l a t ) (lon,lat) (lon,lat)
反过来，将 ( l o n , l a t ) (lon,lat) (lon,lat)带入方程组就可以得到 ( x , y ) (x,y) (x,y)

这里需要注意的是：

处于分母位置的 k 1 k_1 k1、 k 2 k_2 k2、 k 3 k_3 k3、 k 4 k_4 k4 都不能为零

转换为编程中的除零异常就是需要注意的是：

参考的两点不能完全相等
进行计算的 ( x , y ) (x,y) (x,y)或 ( l o n , l a t ) (lon,lat) (lon,lat)不能与第一个参考点相同

对于第二句话，由于类库使用者调用本函数时，不会注意传参顺序，故你可要求他要计算的点不应该为两个参考点中任意一个。
实际工程中，对于这个问题，我们判断一下 d x 1 , d y 1 dx_1,dy_1 dx1,dy1 ，即当前点是否和参考点重合，如果重合，直接返回参考点。

屏幕坐标转地理坐标(Java实现）

由于原文中已给出了详尽的C#代码，这里我只给出自己的关于屏幕坐标转地理坐标的Java实现。由于代码实现解方程组我还不熟悉，只能按照原有文章中的代码逻辑直接给出到大家，待后续有能力了，我会把变量都和代数中的符号保持一致。

1.首先定义包含 ( x , y ) (x,y) (x,y) 和 ( l o n , l a t ) (lon,lat) (lon,lat) 的数据存储的类

public class XYLonLatModle {private double x;private double y;private double longitude;private double latitude;public double getX() {return x;}public void setX(double x) {this.x = x;}public double getY() {return y;}public void setY(double y) {this.y = y;}public double getLongitude() {return longitude;}public void setLongitude(double longitude) {this.longitude = longitude;}public double getLatitude() {return latitude;}public void setLatitude(double latitude) {this.latitude = latitude;}public String getWgsString() {return latitude + "," + longitude;}
}

然后为了构建这个 XYLonLatModle 更加方便，我们再写一个 Builder 类。

public final class XYLonLatModleBuilder {private double x;private double y;private double longitude;private double latitude;private XYLonLatModleBuilder() {}public static XYLonLatModleBuilder aXYLonLatModle() {return new XYLonLatModleBuilder();}public XYLonLatModleBuilder withX(double x) {this.x = x;return this;}public XYLonLatModleBuilder withY(double y) {this.y = y;return this;}public XYLonLatModleBuilder withOriginalXY() {this.x = 0;this.y = 0;return this;}public XYLonLatModleBuilder withXyString(String xyString){String[] strings = xyString.split(",");this.x = Double.parseDouble(strings[0]);this.y = Double.parseDouble(strings[1]);return this;}public XYLonLatModleBuilder withLongitude(double longitude) {this.longitude = longitude;return this;}public XYLonLatModleBuilder withLatitude(double latitude) {this.latitude = latitude;return this;}public XYLonLatModleBuilder withLatitudeLongitudeString(String latLngString) {String[] strings = latLngString.split(",");this.latitude = Double.parseDouble(strings[0]);this.longitude = Double.parseDouble(strings[1]);return this;}public XYLonLatModle build() {XYLonLatModle xYLonLatModle = new  XYLonLatModle();xYLonLatModle.setX(x);xYLonLatModle.setY(y);xYLonLatModle.setLongitude(longitude);xYLonLatModle.setLatitude(latitude);return xYLonLatModle;}
}

2.创建工具类根据两个参照点和当前的 ( x , y ) (x,y) (x,y) 计算 ( l o n , l a t ) (lon,lat) (lon,lat)

public class XYLongitudeLatitudeConvertUtil {public static double norm(double a, double b) {return Math.sqrt(a * a + b * b);}/*** x y 坐标转 经纬度** @param x* @param y* @param reference1* @param reference2* @return*/public static XYLonLatModle vectorMapXyToLatLng(double x, double y, XYLonLatModle reference1, XYLonLatModle reference2) {double x1 = reference1.getX();double y1 = reference1.getY();double lon1 = reference1.getLongitude();double lat1 = reference1.getLatitude();double x2 = reference2.getX();double y2 = reference2.getY();double lon2 = reference2.getLongitude();double lat2 = reference2.getLatitude();double lon_cos = Math.cos(lat2 * Math.PI / 180);double m = (lon2 - lon1) * lon_cos;double n = (lat2 - lat1);double dx1 = x2 - x1;double dy1 = y2 - y1;double dx2 = x - x1;double dy2 = y - y1;double a = (dx2 * dx2 + dy2 * dy2) * (m * m + n * n) / (dx1 * dx1 + dy1 * dy1);double norm = norm(m, n);double v = dx1 * dx2 + dy2 * dy1;double sqrt = Math.sqrt(a);double b = v * norm * sqrt / (norm(dx1, dy1) * norm(dx2, dy2));double c = Math.sqrt(b * b * n * n - (m * m + n * n) * (b * b - a * m * m));double q1 = (b * n + c) / (m * m + n * n);double q2 = (b * n - c) / (m * m + n * n);double p1 = (b - q1 * n) / m;double p2 = (b - q2 * n) / m;double lon_1 = p1 / lon_cos + lon1;double lat_1 = q1 + lat1;double lon_2 = p2 / lon_cos + lon1;double lat_2 = q2 + lat1;double judge1 = (lon_1 - lon1) * (lat2 - lat1) - (lat_1 - lat1) * (lon2 - lon1);double judge2 = (lon_2 - lon1) * (lat2 - lat1) - (lat_2 - lat1) * (lon2 - lon1);double judge = (x - x1) * (y2 - y1) - (y - y1) * (x2 - x1);double lon = 0;double lat = 0;if (judge * judge1 < 0) {lon = lon_1;lat = lat_1;} else {lon = lon_2;lat = lat_2;}XYLonLatModle xyLonLatModle = XYLonLatModleBuilder.aXYLonLatModle().withX(x).withY(y).withLongitude(lon).withLatitude(lat).build();return xyLonLatModle;}}

本方法未用到任何jar包依赖，直接使用的Java基本语法，故不需要给出import

最简易的调用就是用屏幕中的零点和一个较大的点来作参考：

XYLonLatModle originalPoint = XYLonLatModleBuilder.aXYLonLatModle().withOriginalXY().withLatitudeLongitudeString("20.156,52.369").build();
XYLonLatModle anotherPoint = XYLonLatModleBuilder.aXYLonLatModle().withXyString("5,5").withLatitudeLongitudeString("20.157,52.370").build();
XYLonLatModle xyLonLatModle = XYLongitudeLatitudeConvertUtil.vectorMapXyToLatLng(x, y, originalPoint, anotherPoint);

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