二分图匹配 Hopcroft-Carp (HK) 算法详解附例题

了解这个算法之前首先了解一个概念：增广路

增广路：简单的说，是二分图匹配中的一条边，他总是从左边集合的一个点出发通过一条没有被匹配的边连接到右边集合，再从该点通过一条匹配过的边连接到右边集合。

图1为正常的二分图

图2为二分图的最大匹配

图3 为二分图最大匹配中的增广路两条紫色一条黄色一条。

了解这个算法之前，还需要对一个算法进行比较：匈牙利算法

匈牙利算法如果用增广路来说明的话，就是从一个点出发，如果找到一个匹配就连接这个匹配。

如果当前这个点被匹配过的话，就去寻找一个增广路，找到左边集合中的点，看该点是否还能匹配到右边集合的点匹配到最后增广路的长度为 2*n，最终无法匹配。

简单的说就是，每次判断能匹配就匹配，匹配不到就去寻找一个增广路使他继续匹配。

这样的复杂度 O(N*M)

如果数据太大，会爆TLE，所以HK算法将其复杂度优化 -> O(sqrt(n)*m)

再者：了解HK算法的本质：是对匈牙利的算法的优化，匈牙利算法一次只更新一条增广路，而HK算法，同时更新多条互不相交的最短增广路。

经证明：当更新到sqrt(n)的时候，最大匹配已被全部OK。复杂度证明自行搜索。

然后开始正经的算法讲解（一定要了解本质是对匈牙利算法的优化）：

所以根据优化这条性质出手

第一步：他需要找到当前最短的匹配找不到就去找最短的增广路

左边第一个点链接到右边第一个点发现右边第一个点未匹配，那么就连起来更新当前最短的路程

如果发现右边的点匹配过，那么就去寻找一条增广路，用BFS实现。

比如上图中：第一次左1连接右3，左2连接右2，左4连接右4 这是长度为1的匹配.

第二次更新：左边只有第三个点还未进行匹配，所以用第三个点更新，左3连右2，右2已经被标记过了，那么找到右2的归属者：左2，对左2进行搜索发现可以去连接到右3，所以当前的匹配长度为3，所以继续寻找匹配，用匈牙利算法递归进行匹配即可。

这一部分的代码总结为：

/****
前期数组定义(一遍):
nR ：标记右边集合的点是否被标记
nL ：标记左边集合的点是否被标记
dR : 更新当前增广路的距离，也便于更新
dL ：同上
****/
bool judge()// 更新当前最短的增广路
{memset(dR,-1,sizeof(dR));//初始化的意思是 ：因为多条增广路互不相交，所以一旦发生变化，另一个就不能再去标记了。memset(dL,-1,sizeof(dL));dis=INF;queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++)   {if(nL[i]==-1){q.push(i);dL[i]=0;}}while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();if(dL[u]>dis) break;//保证最短长度的赠广路for(int i=1;i<=m;i++){if(mp[u][i]<=t&&dR[i]==-1)//dR[i]!=-1 保证所有增广路都不相交{dR[i]=dL[u]+1;if(nR[i]==-1) dis=dR[i]; //如果当前点没有被标记 ，那么可以匹配到else//否则找到他的归属者，用归属者进入队列 ，寻找增广路{dL[nR[i]]=dR[i]+1;q.push(nR[i]);}}}}return dis!=INF;//只要能找到增广路 dis就不为INF
}

第二步：我们匹配完多条增广路之后，我们就用匈牙利的思想就去更新，这多条增广路，也是遍历左边集合中没有匹配到的点，看他们是否可以通过一条增广路匹配到，但会出现一个问题：会增加时间，例如：

如果一个点已经被匹配到，并且他是最后一个匹配的节点，那么这个节点连过去之后一定不可能成为增广路。所以不需要判断否则会耽误很多时间：

bool Find(ll x)
{for(int i=1;i<=m;i++){if(!vis[i]&&mp[x][i]<=t&&dL[x]+1==dR[i]){vis[i]=1;if(nR[i]!=-1&&dR[i]==dis)  continue; //特判一下if(nR[i]==-1||Find(nR[i]))//找到就匹配，找不到就匹配他的父辈节点{nR[i]=x;nL[x]=i;return true;}}}return false;
}

第三步：进行最大匹配就可以了。结束条件是找不到增广路：

ll MaxMatch()
{ll cnt=0;while(judge()){for(int i=1;i<=n;i++){for(int k=1;k<=m;k++) vis[k]=false;if(nL[i]==-1)if(Find(i)) cnt++;}}return cnt;
}

最后附加一个例题：

Rain on your Parade POJ的一个题：可以去搜搜

AC：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
const int maxn=1e6+1000;
const ll INF=10000000000;
inline ll read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}ll  n,m;
ll dis;
double t;
bool vis[5000];
int nR[5000],nL[5000];
int dR[5000],dL[5000];
struct node{double x,y;double v;
}gest[5000],umb[5000];
double cal(node a,node b)
{return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool judge()// 更新当前最短的增广路
{memset(dR,-1,sizeof(dR));memset(dL,-1,sizeof(dL));dis=INF;queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++)   {if(nL[i]==-1){q.push(i);dL[i]=0;}}while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();if(dL[u]>dis) break;//保证最短长度的赠广路for(int i=1;i<=m;i++){if((cal(umb[i],gest[u])/gest[u].v)<=t&&dR[i]==-1)//dR[i]!=-1 保证所有增广路都不相交{dR[i]=dL[u]+1;if(nR[i]==-1) dis=dR[i];else{dL[nR[i]]=dR[i]+1;q.push(nR[i]);}}}}return dis!=INF;
}
bool Find(ll x)
{for(int i=1;i<=m;i++){if(!vis[i]&&(cal(umb[i],gest[x])/gest[x].v)<=t&&dL[x]+1==dR[i]){vis[i]=1;if(nR[i]!=-1&&dR[i]==dis)  continue;if(nR[i]==-1||Find(nR[i])){nR[i]=x;nL[x]=i;return true;}}}return false;
}
ll MaxMatch()
{ll cnt=0;while(judge()){for(int i=1;i<=n;i++){for(int k=1;k<=m;k++) vis[k]=false;if(nL[i]==-1)if(Find(i)) cnt++;}}return cnt;
}
void restart()
{memset(nR,-1,sizeof(nR));memset(nL,-1,sizeof(nL));
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);int cas=0;bool f=false;while(T--){restart();scanf("%lf",&t);scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&gest[i].x,&gest[i].y,&gest[i].v);scanf("%lld",&m);for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lf%lf",&umb[i].x,&umb[i].y);printf("Scenario #%d:\n%lld\n\n",++cas,MaxMatch());}return 0;
}

PS：还是注意优化那个如果当前节点被标记过并且是最后一个匹配点，该条路就一定不能成为增广路！

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